1.   引言

现代雷达目标的多样性和探测环境的复杂化凸显了传统的雷达体制和探测技术的局限性。为了应对复杂的目标及环境，除了寻求目标检测理论与技术的突破外^[1]，对雷达体制变革和资源优化利用也在持续与深入地开展^[2-5]。最大限度地挖掘和利用雷达传感器系统获得电磁信息的能力^[6,7]，优化利用现有的雷达资源^[8,9]，提高雷达系统的目标探测能力，是雷达信息处理和资源优化管理领域所面临的基础性课题和现实紧迫任务^[9-11]。

近年来，多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷达作为一种新的雷达体制受到了广泛关注^[12,13]。一般来说，根据阵元的空间配置，MIMO雷达可分为两大类：一种是集中式MIMO雷达^[14]，其阵元间距为半波长水平，主要利用调谐探测信号实现优越的波形分集；另一种是分布式MIMO雷达^[15]，通过空间散布配置的阵元实现信号联合处理，利用角延展引起的回波信号空间分集增益有效克服目标闪烁^[16]，提高检测性能。相较于分布式MIMO雷达，传统相控阵(Phased-Array, PA)的发射/接收(Transmitting/Receiving, T/R)组件在空间紧密分布，信道之间具备很强的相关性，进而可以获得良好的空间采样能力和信息处理自由度^[17]。

相参增益和空间分集增益均能够提升雷达的检测性能^[18]。由于雷达工作体制差异，分布式MIMO雷达发射正交波形获得空间分集增益的同时也损失了相参增益。在阵元数目一定的系统中，仅利用分集增益的分布式MIMO雷达或仅利用相参增益相控阵雷达都是非最优的，因此，仅增加资源总量而不考虑单个终端之间的合作是远远不够的。

相控阵多输入多输出(Phased-Array Multiple-Input Multiple-Output, PA-MIMO)雷达^[19]的提出，为MIMO雷达的发展开辟了一条新的途径。混合分布式PA-MIMO雷达是将传统相控阵雷达技术与MIMO雷达技术相结合，利用子阵内阵元信号的相参性和正交性来同时获取的相参增益与空间分集增益，使PA-MIMO混合系统在保持MIMO雷达优势的同时兼具相控阵雷达相参增益处理的优势，不失为一种折中、有效的实现方案^[20]。

众多学者针对雷达系统的阵元配置展开了深入研究。文献[21]研究多目标背景下的最优稀疏阵列优化配置问题。文献[22]提出了一种分布式MIMO雷达中发射机和接收机联合布置的算法来提高定位精度。通过阵元配置优化提升系统检测性能的研究也有着深厚基础，文献[23]通过穷举方法部署阵元在空间的位置，并通过注水算法完成功率分配从而优化雷达系统的目标检测能力。文献[20]将发射阵列划分为均匀重叠的子阵，同时获得相干处理增益和波形分集增益，理论推导以及仿真实验证明了相控阵MIMO雷达的优越性。文献[24]从接收端角度出发考虑阵元空间位置的配置，并提出了两种增益在多输入多输出-多站雷达系统(Multiple-Input Multiple-Output Multisite Radar System, MIMO-MSRS)中的优化分配问题。文献[25,26]研究了数字阵列雷达阵元优化配置，从接收端研究阵元空间配置优化对于雷达系统性能提升的作用。然而，目前还没有文献同时从发射端和接收端考虑对相参处理增益和空间分集增益在雷达系统中的分配，研究优化配比对于雷达系统检测性能的作用具有现实意义。

对此，本文基于混合分布式PA-MIMO雷达建立雷达系统信号模型和阵元空间配置模型，推导得到固定噪声下的似然比检测(Likelihood Ratio Test, LRT)器，并建立基于奈曼皮尔逊(Neyman-Pearson, NP)准则的阵元空间配置模型。在此基础上，提出了3个典型优化问题，即检测概率最大化、雷达有效作用距离最大化以及给定检测指标下雷达系统设备量最小化。对此分别构建优化模型得到了各自的闭式近似解，并利用提出的基于量子粒子群优化的随机取整(Quantum Particle Swarm Optimization-based Stochastic Rounding, SR-QPSO)求解得到雷达系统的阵元配置的最优化策略。实现了在现有雷达资源总量的基础上，雷达系统中阵元之间的合作优化，提升雷达检测性能。

2.   系统模型

2.1   混合分布式PA-MIMO雷达系统模型及其信号模型

设混合分布式PA-MIMO雷达的观测模型如图1所示，MIMO雷达系统在二维平面xoy内M个发射阵元同时发射M个正交波形信号，N个接收阵元接收目标的回波信号。

图  1  混合分布式PA-MIMO雷达结构示意图

Figure  1.  Schematic diagram of the hybrid distributed PA-MIMO radar structure

下载: 全尺寸图片 幻灯片

雷达系统每个子阵内部为相控阵模式，子阵之间为MIMO模式，其中每个发射阵元的辐射功率为${P_{\text{t}}}$，雷达发射天线增益为${G_{\text{t}}}$，雷达接收天线增益为${G_{\text{r}}}$，发射信号波长为$\lambda$；则根据基本雷达方程和MIMO雷达信号模型^[18]，雷达发射信号经位于$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$目标散射后被第n个接收阵元接收的信号可表示为

其中，${s_m}\left( t \right)$为m-th发射阵元发射的窄带信号，满足MIMO雷达正交信号条件$\displaystyle\int {{s_l}\left( t \right)s_k^*\left( t \right){\rm{d}}t} = {\delta _{lk}}$，$*$表示共轭转置运算，${\delta _{lk}}$为Kronecker Delta函数，${\left\| {{s_m}\left( t \right)} \right\|^2} = 1$；L为雷达系统损耗，${\varphi _{nm}}$为多通道采样中雷达阵元空间配置引起的相位差，${\tau _{mn}} = \left( {R_m} + {R_n} \right)/{\rm{c}}$表示n-mth信道中m-th发射阵元到目标质心的距离${R_m}$与目标到n-th接收阵元的距离${R_n}$和而引起的信号时延，其中恒值${\text{c}}$为光速。此外，$\sigma {}_{nm}$为第m个发射阵元和第n个接收阵元之间所观察到的目标散射截面积，并且目标与MIMO雷达各阵元之间的距离满足远场条件并且阵元之间的最大距离远小于目标距离R，即认为${R_m} = {R_n} = R$。进一步，定义m-n信道中的目标回波幅值系数${\alpha _{nm}}$

假设目标RCS波动服从SwerlingⅠ型，即${\sigma _{mn}}$服从均值为0，方差为${\sigma ^2}$的复高斯分布。也即${\alpha _{nm}}$是一个方差为$\sigma _{\rm{T}}^2$的复高斯分布变量。在此基础上，M个阵元发射的信号经目标散射后被N个接收阵元接收到的信号可表示为

其中，${\boldsymbol{a}} = {\left[ {1,{{\rm{e}}^{ - {\text{j}}{\varphi _2}}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{ - {\text{j}}{\varphi _N}}}} \right]^{\text{T}}}$为雷达系统的接收导向矢量；H表示雷达系统发射阵元与接收阵元信道之间对应的目标散射系数的$N \times M$的系数矩阵，其中${\left[ {\boldsymbol{H}} \right]_{mn}} = {\alpha _{mn}}$；${\boldsymbol{b}} = {\left[ {1{{,}}\;{{\rm{e}}^{ - {\text{j}}{\psi _2}}}{{,}} \;\cdots {{,}}\;{{\rm{e}}^{ - {\text{j}}{\psi _M}}}} \right]^{\text{T}}}$为发射导向矢量；${\boldsymbol{s}}\left( t \right) = {\left[ {{s_1}\left( t \right),\;{s_2}\left( t \right),\; \cdots ,\;{s_M}\left( t \right)} \right]^{\text{T}}}$为雷达系统发射信号的信号矢量；${\boldsymbol{n}}\left( t \right) = \left[ {n_1}\left( t \right),\;{n_2}\left( t \right),\; \cdots,\; {n_N}\left( t \right) \right]^{\text{T}} \sim {\mathcal{N}}\left( {0,\sigma _n^2{{\boldsymbol{I}}_N}} \right)$表示加性高斯白噪声的$N \times 1$向量，其中${{\boldsymbol{I}}_N}$为$N \times N$的矩阵。

2.2   混合分布式PA-MIMO雷达分集条件及阵元部署

目标散射系数矩阵可以通过改变雷达系统各子阵间的距离来调整矩阵元素之间的相关性^[16]，进而改变回波信号在雷达系统中的处理模式。不失一般性，空间信号的相关性由阵元间距d 定义为^[27]

其中，D为目标的切向长度。从本质上来讲，对混合分布式PA-MIMO雷达进行空间配置、分配两种增益在雷达系统中的比重，就是改变目标散射系数矩阵H各元素的相关性上。若阵元间距不满足式(4)中空间分集条件时，各子阵之间组合成为相控阵体制雷达；若阵元间距满足式(4)中的空间分集条件，各子阵之间遵循MIMO雷达信号处理机制。

因此，考虑通过改变雷达天线阵元之间的距离，使得相应的目标散射系数之间完全相关或者不相关。若信道对应目标散射系数${\alpha _{lk}}$与${\alpha _{nm}}$之间完全不相关，对空间目标形成角展宽，从而获得空间分集增益；当${\alpha _{lk}}$与${\alpha _{nm}}$之间完全相关时，雷达系统对相应的目标回波${r_{lk}}$与${r_{nm}}$进行相参处理提高目标回波信号的信噪比。因此按照雷达系统各信道的相关性对目标散射系数矩阵进行重组划分，构建阵元优化配置后的目标散射系数矩阵${\boldsymbol{\hat H}}$为

其中，目标散射系数矩阵子阵${{\boldsymbol{H}}_{\hat n\hat m}}$对应包含着${a_{\hat m}} \times {b_{\hat n}}$个相参处理信道，相应内部的发射阵元与接受阵元分别重组为相控阵雷达；同时，两个不同子阵${{\boldsymbol{H}}_{\hat n\hat m}}$和${{\boldsymbol{H}}_{\hat u\hat v}}$对应信道之间均完全不相关。

图2可以更形象地说明混合分布式PA-MIMO雷达的阵元配置。M个发射阵元与N个接收阵元分别重组划分为$\hat M$, $\hat N$个子阵，$\hat N$个发射子阵和$\hat M$个接收子阵内部按照相控阵雷达体制进行相参处理，同时各个子阵之间按照MIMO雷达体制发射和接收相互独立的正交信号进行分集处理，使雷达系统同时具有相参增益与空间分集增益。

图  2  混合分布式PA-MIMO雷达阵元优化配置结构图

Figure  2.  Structure diagram of hybrid distributed PA-MIMO radar array element optimization configuration

下载: 全尺寸图片 幻灯片

空间分集处理可以通过提高检测器的独立通道数来改善检测性能，相参处理通过提高各通道的检测信噪比从而改善检测性能。由此通过对目标散射系数矩阵进行分块的方法，协调分配MIMO雷达空间分集增益与相控阵相参增益在雷达系统中的比重，实现优化雷达系统目标检测的性能。

3.   混合分布式PA-MIMO雷达目标检测模型

3.1   混合分布式PA-MIMO雷达信号处理流程

对于所提出的混合分布式PA-MIMO雷达系统，其信号处理流程如图3所示。混合分布式PA-MIMO雷达系统发射的正交信号经目标散射至$\hat N$个雷达接收阵元，接收的信号首先通过匹配滤波器组生成$D = \hat N \times \hat M$路通道输出独立信号，然后信号经过相控阵雷达内部相干积累与空时配准，最后进行信号采样、似然比检测^[28]。

图  3  混合分布式PA-MIMO雷达信号处理流程

Figure  3.  Signal processing flow of hybrid distributed PA-MIMO radar

下载: 全尺寸图片 幻灯片

分析图3可知，子阵${{\boldsymbol{H}}_{\hat n\hat m}}$内的散射系数对应着重组子阵中第$\hat n$个发射子阵与第$\hat m$个接收子阵组成的信道，接收阵元信号通过相参处理后可以写为

其中，${a_{\hat m}}$代表重组分块子阵${{\boldsymbol{H}}_{\hat n\hat m}}$包含的发射阵元数量，${b_{\hat n}}$代表重组分块子阵${{\boldsymbol{H}}_{\hat n\hat m}}$包含的接收阵元数数量。由于子阵重组划分遵循不重叠阵元原则，满足

因此，任一子阵在目标检测单元采样值对应的信噪比可近似为

其中，T为发射阵元信号的脉冲宽度，定义${\rho _0} = \sigma _{\rm{T}}^2T{P_{\text{t}}}/ \sigma _n^2$为基准信道信噪比，表示单个独立信道作用距离R处目标提供的信噪比。由于不同子阵间对应信道之间的独立性以及子阵内部各信道之间的完全相关性，子阵内部各阵元对应的信号进行相参处理，各子阵对应信号在对信道延迟完成时空配准之后进行非相参处理。

因此，混合分布式PA-MIMO雷达具有优质检测性能的本质在于首先提高各子阵内部所有信号样本的局部信噪比，在此基础上对所有独立子阵之间产生的空间分集增益进行优化，从而进一步提高雷达系统的目标检测能力。

3.2   混合分布式PA-MIMO雷达似然比检测

本节以图2所示阵元配置后的混合分布式PA-MIMO雷达系统为研究模型。根据不同子阵的空间配置满足式(4)中空间分集条件，各子阵输出各不相关，故$\hat N \times \hat M$路信号相互独立正交。假设雷达系统接收到的噪声等级是已知的，则各回波信号${\boldsymbol{\hat r}} = {{\text{[}}{\hat r_{11}},{\hat r_{12}}, \cdots ,{\hat r_{\hat N\hat M}}{\text{]}}_{1 \times \hat N\hat M}}$为独立同分布的复高斯随机变量。因此，雷达系统不同子阵的平方律检波输出为

其中，${X_{\hat n\hat m}} = {\left\| {{{\hat r}_{\hat n\hat m}}} \right\|^2}$，在此基础上构建假设检验，故雷达系统的目标检测问题表示为

概率密度函数表示为

基于NP准则，构造混合分布式PA-MIMO雷达似然比检测器，可表示为

即

其中，$f\left(\cdot|{\mathcal{H}}_{1}\right)$与$f\left(\cdot|{\mathcal{H}}_{0}\right)$分别表示在两种假设下的条件分布密度函数，${T_{{\text{HPM}}}}$是由接收采样信号求模输出${X_{\hat n\hat m}}$构造的检验统计量。进一步，对式(13)等号两端取对数，此时整个混合分布式PA-MIMO雷达的对数似然比为不同子阵的总和：

其中，

式(15)中，$\chi _{{\text{(}}2{\text{)}}}^2$表示自由度为2的卡方分布，则混合分布式PA-MIMO雷达系统的似然比检测器为

其中，${\eta _0}$是由雷达虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$决定的门限值参数，由此得到${{\mathcal{H}}_0}$和${{\mathcal{H}}_1}$假设条件下雷达检测的分析检验统计量的分布情况：

(1) 基于${{\mathcal{H}}_0}$假设的混合分布式PA-MIMO雷达系统LRT分析。

${{\mathcal{H}}_0}$假设下，雷达检测单元无目标回波信号，令${R'_{\hat n\hat m}} = {R_{\hat n\hat m}}$, ${\omega '_{\hat n\hat m}} = {\rho _{\hat n\hat m}}/\left( {1 + {\rho _{\hat n\hat m}}} \right)$，则混合分布式PA-MIMO雷达系统在${{\mathcal{H}}_0}$假设下的极大似然检测器可以重新表示为

又因为

${R'_{\hat n\hat m}}$为自由度为2的卡方分布变量，即标准指数分布变量。则对于检验统计量${{\mathbb{T}}_{{\rm{HPM}}\left| {{{\mathcal{H}}_0}} \right.}}$而言，独立同分布的指数分布加权和近似服从指数尺度参数的伽马分布，即

其中，$\Gamma \left( {\theta ,\xi } \right)$为伽马函数，参数$\theta$和$\xi$分别代表伽马分布的尺度参数和形状参数，式(20)中${v_0}$, ${g_0}$分别为

(2) 基于${{\mathcal{H}}_1}$假设的混合分布式PA-MIMO雷达系统LRT分析。

${{\mathcal{H}}_1}$假设下，雷达检测单元包含目标信号，令${R'_{\hat n\hat m}} = {R_{\hat n\hat m}}/{{(}}1 + {\rho _{\hat n\hat m}} )$, ${\omega '_{\hat n\hat m}} = {\rho _{\hat n\hat m}}$，则混和分布式PA-MIMO雷达系统在${{\mathcal{H}}_1}$假设下的极大似然检测器可以重新表示为

其中

对于检验统计量${T_{{\text{HPM}}\left| {{{\mathcal{H}}_1}} \right.}}$而言，有

其中，${v_1}$, ${g_1}$分别为

至此，综合考虑式(17)、式(20)、式(25)，得到混合分布式PA-MIMO雷达系统LRT检测器：

4.   优化问题模型及求解

4.1   混合分布式PA-MIMO雷达系统优化问题概述

混合分布式PA-MIMO雷达系统进行阵元配置优化的目的是提高雷达系统的目标检测性能。一般而言，雷达系统目标检测性能的评价标准有：检测概率${P_{\text{D}}}$，雷达系统信噪比，探测距离${R_{{\text{max}}}}$以及雷达分辨率等等。然而，不同的优化目的可能采用不一样的优化配置策略。第一，检测概率${P_{\text{D}}}$常是用来刻画雷达系统检测能力最直观的性能指标，研究基于给定信噪比的阵元配置优化问题；第二，对于一定的检测概率与虚警概率下，追求雷达系统的最大作用距离；第三，在给定的虚警概率或者检测概率的条件下减少雷达系统的设备量。因此，利用式(8)、式(28)根据不同的优化设计目的，混合分布式PA-MIMO雷达的优化设计可以分为以下3个优化问题：

优化问题1：检测概率是刻画雷达系统检测概率最为直观的性能指标，立足于现有的$M \times N$混合分布式PA-MIMO雷达系统，给定虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$和基准信道信噪比${\rho _0}$，优化雷达系统阵元配置策略，即优化分集向量${\boldsymbol{\beta }} = {\text{(}}\hat M{\text{ }}{a_1}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{a_{\hat M}}{\text{)}}$与${\boldsymbol{\gamma }} = {\text{(}}\hat N{\text{ }}{b_1}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{b_{\hat N}}{\text{)}}$，最大化雷达系统的目标检测概率${P_{\text{D}}}$；

优化问题2：立足于现有的$M \times N$混合分布式PA-MIMO雷达系统，给定虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$和检测概率${P_{\text{D}}}$，优化分集向量${\boldsymbol{\beta }} = {\text{(}}\hat M{\text{ }}{a_1}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{a_{\hat M}}{\text{)}}$与${\boldsymbol{\gamma }} = {\text{(}}\hat N{\text{ }}{b_1} {\text{ }} \cdots {\text{ }}{b_{\hat N}}{\text{)}}$，最大化雷达系统的威力范围R；

优化问题3：在满足规定的检测能力基础上减少雷达系统的设备量提高系统效益也极富现实意义，给定雷达系统的虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$和检测概率${P_{\text{D}}}$，优化分集向量${\boldsymbol{\beta }} = {\text{(}}\hat M{\text{ }}{a_1}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{a_{\hat M}}{\text{)}}$与${\boldsymbol{\gamma }} = {\text{(}}\hat N{\text{ }}{b_1}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{b_{\hat N}}{\text{)}}$，最小化混合分布式PA-MIMO雷达的设备量。

以上3个优化问题从不同的角度考虑提升雷达系统的目标检测能力，但其核心问题均是对发射端分集向量${\boldsymbol{\beta }}$和接收端分集向量${\boldsymbol{\gamma }}$的优化求解。然而，高维整数规划问题最优化求解过程当中还存在参数耦合问题，无法得到解析解并且求解复杂。为降低搜索时间和求解复杂度，将阵元均匀划分为一定数目的非重叠子阵进行分析优化，即

4.2   典型阵元部署的混合分布式PA-MIMO雷达系统检测性能分析

本节分析发射端和接收端分集对雷达系统检测性能的影响。文中混合分布式PA-MIMO雷达协调利用相参处理和分集处理，分别从提高检测信噪比和提高检测通道数两方面提升雷达系统的检测能力。按照发射端和接收端的阵元配置方案，混合分布式PA-MIMO雷达系统可以退化为4种典型结构：

(1) 收发全分集处理为分布式MIMO雷达；

(2) 收发全部相参处理为相控阵雷达；

(3) 发射端全分集处理而接收端完全作相参处理为MISO雷达；

(4) 接收端全分集处理而发射端完全作相参处理为SIMO雷达。

由此各典型雷达系统在一定的虚警概率下对应的检测概率为

其中，${Q_{\chi _{{\text{(}}2MN{\text{)}}}^2}}$和$Q_{\chi _{{\text{(}}2MN{\text{)}}}^2}^{ - 1}$分别代表$\chi _{{\text{(}}2MN{\text{)}}}^2$的分布积累函数和反积累函数，显然，阵元优化配置可以显著影响系统的检测性能。此外，当雷达系统的收发阵元数目相等时，发现MISO雷达和SIMO雷达检验统计量具有相同的自由度，即具有相同的独立通道数，而SIMO雷达得到的信噪比增益是前者的M倍。进一步分析，在混合分布式PA-MIMO雷达系统中，当阵元配置优化得到独立通道数为$\hat M \times \hat N$，其信噪比增益可以表示为

式(38)更普遍的意义在于，划分子阵时尽可能地利用接收阵元实现分集数，从而使得发射端可以用最少划分的策略提高相参处理增益^[29]。

4.3   均匀划分的混合分布式PA-MIMO雷达系统阵元优化部署

假设雷达系统发射端和接收端均采用均匀不重叠方式配置，结合式(18)和式(28)，有

在给定雷达系统规模$M \times N$, ${P_{{\text{FA}}}}$与${\rho _0}$时，得到雷达的检测概率

(1) 优化问题1模型。

优化问题1即为通过优化阵元配置实现雷达系统的目标检测性能最优化，${\mathbb{Z}}$为整数集

(2) 优化问题2模型。

根据雷达作用距离方程，雷达最大探测距离${R_{{\text{max}}}} = \sqrt[4]{{{\rho _0}/{\rho _{{\text{min}}}}}}$，优化问题2最优阵元配置策略可转化为

(3) 优化问题3模型。

在满足雷达系统既定目标检测性能的前提下，通过阵元优化配置最大限度地减小所需系统设备量。显然，通过雷达系统分时共用天线收发设备从而提高系统的集成度，是减少系统设备量最直观且合理的方法。因此，混合分布式MIMO雷达系统的设备量为M，系统分集自由度为$\hat M$。相应的，雷达系统设备总量的优化模型表示为

4.4   基于QPSO的随机取整优化求解算法

考虑到优化问题为整数规划问题，且目标函数复杂难以求解。尽管可以通过穷举搜索来获得最优解，但问题规模较大，计算量相当可观。因此，本文提出一种量子粒子群优化的随机取整(SR-QPSO)求解算法，在提高求解算法效率的同时，其性能与穷举算法相当。

具有量子行为的粒子群优化算法通过模拟量子系统中态叠加性的强不确定性，在更好覆盖搜索空间的同时提高了算法的收敛性，改善经典粒子群优化算法搜索后期全局搜索乏力缺陷，提高算法全局优化能力^[30,31]。在此基础上，结合本地搜索提升求解精度^[32]，获得优化问题的整数最优解。

在SR-QPSO算法中，为保证群的收敛性，每个粒子${P_{i,j}}{\text{(}}t{\text{)}}$须收敛到局部吸引点${p}_{i}=\text{(}{p}_{i,1}\; {p}_{i,2} \;\cdots\; {p}_{i,j}\;\cdots\; {p}_{i,D}\text{) , }i=1,2,\;\cdots\; ,{N}_{\text{pop}}$，并且粒子的进化方程为

其中，${P_{\text{g}}}{\text{(}}t{\text{)}}$为种群的全局最优点；${c_1} = {c_2}$代表优化过程中的加速系数；${r_{1,j}}{\text{(}}t{\text{)}}$, ${r_{2,j}}{\text{(}}t{\text{)}}$为区间${\text{(}}0,1{\text{)}}$内的随机数；D是粒子的维数，${N_{{\text{pop}}}}$为种群大小。将进化过程中粒子的平均最优位置坐标表示为

在此基础上得到种群在(t+1)次迭代中第i个粒子的第j个分量为

其中，粒子势阱长度为

其中，缩扩张因子$\alpha = 0.8$。

本文采用随机取整方法，将粒子位置参数的小数部分作为进位取整的概率值，按照概率值向上取整。虽然取整之后的问题与原问题不再等价，但是原问题的可行解集包含在取整优化问题的可行解中，即后者的最大值不会小于原优化问题的最大值。整个算法流程如表1所示。

表  1  基于量子粒子群优化的随机取整求解算法流程

Table  1.  SR-QPSO algorithm solution flow

(1) 初始化解空间，设定搜索维度D、种群规模W和最大迭代次 　　 数Q，缩扩张因子$\alpha = 0.8$；
(2) 粒子均匀随机散布于${\text{[}} - P_{{\text{min}}}^{},P_{{\text{max}}}^{}{\text{]}}$，记粒子位置初始值$P_{i,t}^j$；
(3) 规格化各粒子的位置参数，按照其小数位作为随机概率取整；
(4) 计算个体当前位置${P_{i,j}}{\text{(1)}}$与全局最优位置${P_{\text{g}}}{\text{(}}t{\text{)}}$；
(5) 设定收缩因子的上下界${\alpha _0}$和${\alpha _1}$；
(6) 计算量子行为粒子的吸引子$p_{i,j}^{}{\text{(}}t{\text{)}}$；
(7) 　　for $t = 1$ to Q do
(8) 　　　　计算t 时刻迭代时的平均最好个体位置；
(9) 　　　　for $i = 1$ to W do
(10) 　　　　　　计算粒子并更新粒子位置$P_{i,j}^{}{\text{(}}t{\text{)}}$，按照其小数 　　　　　　　　 位作为随机概率取整；
(11) 　　　　　　若$P_{i,j}^{}{\text{(}}t{\text{)}} \notin {\text{[}} - P_{{\text{min}}}^{},P_{{\text{max}}}^{}{\text{]}}$，设置$P_{i,j}^{}{\text{(}}t + 1{\text{)}}$ 　　　　　　　　 为最近的边界值；
(12) 　　　　end for
(13) 　　end for

下载: 导出CSV 

| 显示表格

5.   仿真结果及分析

为了验证混合分布式PA-MIMO雷达阵元配置对目标检测能力的提升效果，以及提出的式(41)—式(43) 3个不同情景下的优化问题，本节设计了一些数值实验。假设目标雷达散射截面积为1 m²，选取发射阵元和接收阵元数目均为100的混合分布式PA-MIMO雷达系统(M=N=100)进行分析，其中虚警概率${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 6}}$，基准信道信噪比${\rho _0} = {\text{6}}{\text{.0913}} \times {10^7}$。最后是QPSO算法的各项参数，其中初始种群个数为100，粒子维度为2，最大迭代次数为100，粒子位置初始化的上界为100，下界为1。

选取基于PSO的随机取整优化求解算法(SR-PSO)与穷举搜索法(Exhaustive Search, ES)作为本文SR-QPSO的对比算法，由于SR-QPSO与SR-PSO属于群体智能搜索算法，其计算复杂度主要受种群基数W和最大迭代次数Q的影响。而穷举搜索算法的计算复杂度取决于问题规模且呈指数型增加，3种算法的对比如表2。

表  2  各算法计算复杂度对比

Table  2.  Algorithm computational complexity comparison

算法	计算复杂度
SR-QPSO	${\mathcal{O} }(QW)$
SR-PSO	${\mathcal{O} }(QW)$
穷举搜索法	$> {\mathcal{O}}({2^{M + N}})$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

5.1   优化问题1仿真及分析

本节立足于目标检测概率${P_{\text{D}}}$，研究阵元优化配置对于混合分布式PA-MIMO雷达系统目标检测能力的提升效果。图4(a)是优化问题1的不同算法的收敛曲线，每一次迭代将群体最优值作为最优个体，其适应度函数随着迭代次数的增加而收敛于最优值，同时混合分布式PA-MIMO雷达系统的检测概率收敛于最优值，此时的阵元配置最优策略为${\text{Opt(}}\hat M,\hat N{\text{) = (}}1,13{\text{)}}$，检测概率${P_{\text{D}}}$达到0.98。图4(b)分析了分别采用穷举搜索法、SR-QPSO与SR-PSO得到最优结果所需的时间，结合图4(a)，所提RS-QPSO算法的收敛速度与运行时间均优于SR-PSO算法。

图  4  基于优化问题1的算法性能对比

Figure  4.  Algorithm performance comparison based on optimization problem 1

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图4在不同的发射端分集自由度$\hat M$、接收端分集自由度$\hat N$以及雷达系统虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$下，根据式(41)进行数值实验仿真，可视化研究分析阵元优化配置对于目标检测概率的影响。

首先，图5显示了检测概率与接收端分集自由度的关系曲线，在一定的虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$下，雷达系统的检测概率${P_{\text{D}}}$首先随着接收端分集自由度$\hat N$的增大而增大，但是当$\hat N$超过最佳的分集数目时，检测概率${P_{\text{D}}}$将随着$\hat N$的增大而减小。其次，发射端分集自由度大于1的雷达系统的检测能力远远低于发射端全相参雷达，且对应的最佳发射端分集自由度随着$\hat M$的增大而减小，印证了在3.3节中式(38)发射端最小分集的结论。为此，后续实验将不再考虑$\hat M$不为1的情况。

图  5  检测概率与接收端分集自由度的关系曲线

Figure  5.  Relation curves between detection probability and diversity DOF at receiver

下载: 全尺寸图片 幻灯片

接着改变$\hat N$，研究发射端分集数对雷达系统${P_{\text{D}}}$的影响。如图6所示，混合分布式PA-MIMO雷达发射端分集自由度$\hat M$的增加会大幅衰减${P_{\text{D}}}$。其本质原因在于发射端的分集引起相参增益的减小，同时产生分集增益的贡献度不能弥补损失的相参增益。结合图5得到，只有发射端增益满足一定水平，增加接收端的分集才会提升雷达系统的检测性能。

图  6  检测概率和发射端分集自由度的关系曲线

Figure  6.  Relation curves between detection probability and diversity DOF at transmitter

下载: 全尺寸图片 幻灯片

如图7所示，当发射端阵元配置为最优方案时，${P_{{\text{FA}}}}$越高，最优接收端分集自由度$\hat N$越大，同时${P_{\text{D}}}$服从一般规律，随着虚警概率的增长而增大。

图  7  不同虚警概率下检测概率与接收端分集自由度的关系曲线

Figure  7.  Relation curves between detection probability and diversity DOF at receiver with different false alarm probabilities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.2   优化问题2仿真及分析

本节中，假设混合分布式PA-MIMO雷达系统${P_{\text{D}}} = 0.8$, ${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 6}}$，运用SR-QPSO优化求解基于优化问题2的数学模型式(42)。其适应度函数的收敛情况如图8(a)所示，所提RS-QPSO算法在不超过10次的迭代后，雷达系统有效作用距离${R_{\text{E}}}$收敛至最优值1166.3 km，收敛效果与运行时间显著优于SR-PSO算法。此时，雷达系统阵元配置最优方案为：发射端分集自由度$\hat M = 1$，接收端分集自由度为$\hat N = 5$。下文中，通过4个仿真实验辨析发射端分级自由度$\hat M$，接收端分级自由度$\hat N$, ${P_{\text{D}}}$以及${P_{{\text{FA}}}}$对雷达系统有效作用距离的影响。

图  8  基于优化问题2的算法性能比较

Figure  8.  Algorithm performance comparison based on optimization problem 2

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图9分别给定发射端阵元划分子阵数量为$\hat M = 1,2,3,4,5$，相比较于最优方案而言，发射端分集自由度的增加并没有提升雷达系统的作用距离，反而雷达系统有效作用距离降低。同时，不同$\hat M$对应的最优接收阵元分集数随着M的增加而减小。其本质上仍然是由于发射端分集造成的信道信噪比下降。因此，后续将在$\hat M = 1$的基础上继续研究讨论。

图  9  雷达有效作用距离和接收端分集自由度的关系曲线

Figure  9.  Relation curves between radar effective range and diversity DOF at receiver

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图10中，类似于优化问题1，仿真实验给定接收端分集自由度$\hat N = 3,4,5,6,7$，改变发射端分集数，发现发射端分集增加同样引起雷达系统有效作用距离的衰减。此外，$\hat M = 1$时接收端最优配置为$\hat N = 5$, $\hat M = 2$时接收端最优配置为$\hat N = 3$。因此，$\hat M = 1$并不总是最优的发射端分集自由度，与接收端阵元配置协调配合才能实现最大效益。

图  10  雷达有效作用距离与发射端分集自由度的关系曲线

Figure  10.  Relation curves between effective range of radar and diversity DOF at transmitter

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图11中，固定雷达系统${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 6}}$, ${P_{\text{D}}} = 0.6,0.7, 0.8,0.9,0.99$，按照式(42)绘制混合分布式PA-MIMO雷达系统有效作用距离与接收机分集自由度关系曲线。雷达有效作用距离随着雷达系统有效检测概率的提升而减少。其次，最佳接收机分集自由度随着${P_{\text{D}}}$的增大而增大。

图  11  不同检测概率下雷达有效作用距离与接收端分集自由度的关系曲线

Figure  11.  Relation curves between radar effective range and diversity DOF at receiver with different detection probabilities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图12分别在${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 4}},{10^{ - 6}},{10^{ - 8}}, {10^{ - 10}}, {10^{ - 12}}$下，绘制了雷达系统接收端分集自由度和雷达系统作用有效距离之间的关系曲线。不失一般性，虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$越低，雷达系统有效作用范围越小。结合图11和图12，虚警概率${P_{{\text{FA}}}}$与检测概率${P_{\text{D}}}$相比其对接收端分集自由的影响较小，但最优策略$\hat N$均随着雷达系统探测精度的上升而增大。

图  12  不同虚警概率下雷达有效作用距离与接收端分集自由度的关系曲线

Figure  12.  Relation curves between effective range of radar and diversity DOF at receiver with different false alarm probabilities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.3   优化问题3仿真及分析

由于优化问题3求取混合分布式PA-MIMO雷达系统最小设备量的目标函数优化变量为雷达系统分集自由度，本节考虑阵元为收发一体的天线系统，即式(43)为单变量函数。通过两个仿真实验分别研究在不同的虚警概率和检测概率的条件下，雷达系统追求最小设备量的阵元配置策略。

图13绘制了混合分布式PA-MIMO雷达阵元分集自由度$\hat M$与雷达系统总设备量M在不同检测概率${P_{\text{D}}} = 0.60,\;0.70,\;0.80,\;0.90,\;0.99$下的关系曲线。显然，检测概率越高，所需雷达系统设备量越大。当给定雷达系统的检测概率超过0.8时，雷达系统需求的T/R阵元数量先减小然后随着$\hat M$递增。因此，最佳分置数$\hat M = 2$；当${P_{\text{D}}}$不超过0.8时，雷达系统总设备量随着$\hat M$的增长而增加，此时不进行阵元分置而形成相控阵雷达是最佳的阵元配置方案。

图  13  不同检测概率下雷达阵元配置策略

Figure  13.  Radar array element configuration strategies with different detection probabilities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在给定${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 4}},{10^{ - 6}},{10^{ - 8}},{10^{ - 10}},{10^{ - 12}}$的条件下，探究雷达系统阵元分集自由度$\hat M$与雷达系统总设备量M之间的关系。由图14可知，${P_{{\text{FA}}}}$越低，所需要的雷达系统设备量越大。当${P_{{\text{FA}}}}$低于${10^{ - 10}}$时，雷达系统在阵元分集数为$\hat M = 2$；当${P_{{\text{FA}}}} = {10^{ - 10}}$时，划分策略为$\hat M = 1,2$使得系统设备量最小；当${P_{{\text{FA}}}}$大于${10^{ - 10}}$时相控阵雷达体制为系统设备量最小的阵元配置方案。

图  14  不同虚警概率下雷达阵元配置策略

Figure  14.  Radar array element configuration strategies with different false alarm probabilities

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.4   优化结果分析

表3总结对比了MIMO雷达、相控阵雷达以及优化后混合分布式PA-MIMO雷达的性能表现，雷达检测概率、有效作用距离以及系统设备量指标均有显著的提升，验证了优化的有效性。

表  3  优化效果分析

Table  3.  Optimization effect analysis

项目	最优指标值	配置策略	收敛时间
优化问题1	${P_{{\text{D}}\max }} = 0.98$	${\text{(}}\hat M,\hat N{\text{)}} = {\text{(}}1,13{\text{)}}$	87.275 s
优化问题2	${R_{{\rm{E}}\max } } = 1166.3\;{\text{km} }$	${\text{(}}\hat M,\hat N{\text{)}} = {\text{(}}1,5{\text{)}}$	86.778 s
优化问题3	$M,\hat M$	取决于${P_{{\text{FA}}}}$, ${P_{\text{D}}}$	/
MIMO雷达	${P_{\text{D} } } = 0.63,\;{R_{\rm{E}}} = 1006\;{\text{km} }$	${\text{(}}\hat M,\hat N{\text{)}} = {\text{(}}100,100{\text{)}}$	/
相控阵雷达	${P_{\text{D} } } = 0.80,\;{R_{\rm{E}}} = 1000\;{\text{km} }$	${\text{(}}\hat M,\hat N{\text{)}} = {\text{(}}1,1{\text{)}}$	/

下载: 导出CSV 

| 显示表格

6.   结语

本文研究了基于目标检测的混合分布式PA-MIMO雷达阵元优化配置问题，建立了固定噪声背景下雷达系统的LRT检测器和阵元配置数学模型，分别分析解决了立足于雷达系统目标检测概率、雷达有效作用距离以及系统设备量的优化问题。其本质是通过阵元配置改变阵元信号之间的相参性，协调相参增益和空间分集增益在雷达系统中的比重，在不增加资源的基础上提升雷达系统的目标检测能力。基于3个优化问题，本文提出闭式近似解得到最优解的粗估计，并利用数值仿真实验分析各参数对于最优配置策略的影响：显然，仅使用分集增益或者相参增益的分布式MIMO雷达和相控阵雷达都非最优。发射端通过相参处理提升系统信噪比，由此在一定信噪比水平的基础上，通过接收端的分集增益可以进一步优化目标检测性能。