基于地基雷达图像的无监督变化检测

黄平平; 任慧芳; 谭维贤; 段盈宏; 徐伟; 刘方

doi:10.12000/JR20004

基于地基雷达图像的无监督变化检测

DOI: 10.12000/JR20004

内蒙古工业大学信息工程学院呼和浩特 010051
内蒙古自治区雷达技术与应用重点实验室呼和浩特 010051

基金项目: 国家自然科学基金重点项目(61631011)，内蒙古自治区财政厅创新引导项目(KCBJ2017, KCBJ2018014)，内蒙古自治区科技重大专项和科技计划项目，装备预研领域基金一般领域基金(JZX7Y20190253040901, JZX7Y20190253041401)

详细信息

作者简介:
黄平平(1978–)，男，山东海阳人，博士，教授，2010年获中国科学院电子学研究所博士学位，现任内蒙古工业大学信息工程学院副院长，自治区雷达技术与应用重点实验室主任，“草原英才”创新团队负责人，全国“工人先锋号”负责人。兼任中央军委装备发展部某专家组成员、中国电子学会信号处理分会委员、中国电子教育学会研究生教育分会理事。获自治区优秀共产党员、自治区五一劳动奖章、自治区青年科技奖、自治区自然科学一等奖、自治区科技进步一等奖等荣誉与奖励。入选国家“百千万人才工程”、自治区突出贡献专家、自治区“草原英才”、自治区自然科学杰出青年、高等学校青年科技英才等人才工程。近几年，共主持国家级项目8项，其他各类科研项目20余项，获得授权国家发明专利30余项，发表学术论文130余篇。主要从事结合国家重大需求及内蒙古自治区经济发展需求，新体制雷达系统设计、雷达信号处理和微波遥感应用等方面的研究。E-mail: hpp@imut.edu.cn

任慧芳(1992–)，女，内蒙古呼和浩特人，现于内蒙古工业大学信息工程学院雷达技术与应用重点实验室攻读硕士学位，主要研究方向为微变监测雷达和遥感图像变化检测。E-mail: Rhf_412922@163.com

谭维贤(1981–)，男，湖北恩施人，博士，教授，硕士生导师，2009年获中国科学院电子学研究所工学博士学位，2015年至今，内蒙古工业大学雷达技术研究所、内蒙古自治区雷达技术与应用重点实验室任教。入选内蒙古自治区“草原英才”工程，主要从事结合国家重大需求及内蒙古自治区经济发展需求，雷达系统技术、微变监测雷达、雷达信号处理和微波遥感等方面的研究。E-mail: wxtan@imut.edu.cn

通讯作者:
黄平平 hpp@imut.edu.cn

责任主编：王彦平 Corresponding Editor: WANG Yanping
中图分类号: TP753
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出版历程
- 收稿日期: 2020-01-11
- 修回日期: 2020-03-22
- 网络出版日期: 2020-06-01

Unsupervised Change Detection Using Ground-based Radar Image

College of Information Engineering, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China
Inner Mongolia Key Laboratory of Radar Technology and Application, Hohhot 010051, China

Funds: The Key Projects of National Natural Science Foundation of China (61631011), The Innovation Guidance Project of Finance Department of Inner Mongolia Autonomous Region (KCBJ2017, KCBJ2018014), The Major Science and Technology Projects and Science and Technology Programs of Inner Mongolia Autonomous Region, Equipment Pre-research Field Fund General Field Fund (JZX7Y20190253040901, JZX7Y20190253041401)

More Information

Corresponding author: HUANG Pingping, hpp@imut.edu.cn

摘要

摘要: 地基雷达是近20几年逐渐发展成熟的微波遥感成像技术，目前已广泛应用于滑坡、崩塌等地质灾害的监测中。地基雷达通过干涉测量原理可以监测到目标区域发生的微小形变，然而受人为因素、地质因素、气象因素等影响，导致雷达图像失相干严重，给长期定量化监测带来较大的难度。因此，迫切需要在定量监测的基础上，进一步开展变化检测方面的应用，为长期全面了解监测区域的动态变化提供有效信息。针对上述问题，该文提出了一种基于改进的模糊C均值聚类(FCM)算法对地基雷达图像进行无监督变化检测，该方法首次利用相干系数图和均值对数比值图进行非下采样轮廓波变换(NSCT)和局部能量法得到合成差异图，然后利用主成分分析(PCA)提取合成差异图中每个像素的特征向量，根据地基雷达图像特点对FCM进行改进，通过改进的FCM对每个像素的特征向量进行聚类得到最终的变化检测结果。利用地基雷达LSA对中国西南某省出现的堰塞体的治理过程进行监测，获取监测区域的地基雷达图像，监测过程中受降水等影响监测体出现滑坡，使用该文方法对其进行变化检测，结果表明该文方法更容易进行聚类分割，变化检测结果在保留变化区域的同时噪声点明显减少。
- 地基雷达图像 /
- 变化检测 /
- 无监督 /
- 相干系数 /
- 改进的模糊C均值聚类
Abstract: Ground-based radar is a microwave remote sensing imaging technology that has been gradually developed throughout the past 20 years so that it has become mature. At present, it has been widely used in monitoring geological disasters such as landslides and collapses. Ground-based radars can detect micro-variations in target areas through the principle of interferometry. However, due to human factors, geological factors, and meteorological factors, the radar image of the monitored area is incoherent, which makes long-term quantitative monitoring difficult. Therefore, further developing the application of change detection while considering quantitative monitoring is urgent, to provide effective information on long-term changes and comprehensively understand the dynamic changes in the monitored area. To solve the above problems, an unsupervised change detection method using ground-based radar images and based on an improved Fuzzy C-Means clustering (FCM) algorithm is proposed in this paper. In this method, for the first time, the Nonsubsampled Contourlet Transform (NSCT) is performed on the coherence coefficient map and the mean log ratio map to obtain the fusion difference map. Then, principal component analysis is used to extract the feature vectors of each pixel in the fusion difference image. The FCM is improved according to the characteristics of the ground-based radar images. The improved FCM is used to cluster the feature vectors of each pixel to obtain the change detection result. A ground-based radar LSA was used to monitor the treatment process of a dam in southwest China. During the monitoring process, landslides occurred in the monitored area affected by precipitation and other factors. This method is used to detect the change of the radar image before and after the landslide. The results show that the proposed method allows for easier clustering and segmenting, and the change detection results can significantly reduce the noise points while retaining the change area.
- Ground-based radar image /
- Change detection /
- Unsupervised /
- Coherence coefficient /
- Improved Fuzzy C-Means (FCM)

HTML全文

1. 引言

近年来关于太赫兹的研究日趋增加，相对于微波频段雷达，太赫兹雷达以其更高的空间分辨率和角分辨率具有更大的优势受到了越来越多的重视^[1,2]。太赫兹辐射的光子能量低，对穿透物不会造成损伤，并且可以穿过大多数介电物质，实现无损检测。太赫兹波具有穿透性，能够实现对隐蔽物体的有效检测，可应用于安检相关的领域。太赫兹频段相比于微波频段频率更高，更容易发射大带宽信号，具有更高的分辨率，具有海量的频谱资源，可用于超宽带超高速无线通信。太赫兹波段目标表面的细微结构、粗糙度等细节会显著影响其后向散射特性，实现更小尺寸目标的探测、更精确目标的运动与物理参数反演^[3]。太赫兹(terahertz, THz)波段位于微波与红外波之间，其频率范围为0.1～10 THz (1 THz=10¹² Hz)，对应的波长为30 μm～3 mm。太赫兹频段目标散射特性是太赫兹雷达探测和成像应用的物理基础^[4,5]，同时也是太赫兹雷达系统进行链路设计、特征提取以及成像算法的重要依据。国内首都师范大学太赫兹实验室研制了太赫兹数字全息成像系统，对太赫兹电磁波的振幅、相位、频率及偏振等全部光学信息的3维空间分布进行精确测量^[6]。针对太赫兹波段目标的散射特性，美国麻省LOWELL大学毫米波实验室利用1.56 THz源在紧缩场中对粗糙表面圆柱体的目标散射特性进行了研究^[4]。天津大学太赫兹研究中心搭建了以0.2 THz返波管振荡器源、热释电探测器、小型自动旋转光学平台等组成的太赫兹波目标散射特性实验测试系统，并对粗糙铜面的散射特性等进行了研究^[7,8]。对于介质^[9]和涂覆目标的太赫兹散射，北京航空航天大学江月松等人考虑粗糙度修正表面的散射系数研究了基于经验公式的涂覆目标的太赫兹散射特性^[10]。

本文区别于以往采用经验公式^[10]以粗糙度修正散射系数的研究方法，把随机粗糙面的建模理念应用到太赫兹波段表面粗糙目标的建模中。首先模拟生成了分形粗糙面近似代替实际复杂的粗糙面，对生成的分形粗糙面进行坐标变换导入计算机辅助设计(Computer Aided Design, CAD)建模软件建立具有粗糙表面的目标模型；然后对表面粗糙目标按照入射波的频率以满足物理光学近似的要求进行剖分。根据菲涅尔反射系数求得表面电流进而计算涂覆粗糙目标的雷达散射截面(Radar Cross Section, RCS)。并针对不同频率以及不同涂覆厚度的表面粗糙涂覆目标，分别进行了仿真分析。

2. 表面粗糙目标模型

2.1 分形粗糙面

自1982年Mandelbrot首次提出“分形”的概念^[11]，指的是组成部分与整体以某种方式相形似，分形理论就在很多领域中得到应用。“分形”不同于通常意义上的长度、面积、体积等几何概念，分形内部的任何一个相对独立的部分，在一定程度上都应该是整体的再现和缩影，分形几何体内部存在无穷层次、具有见微知著、由点及面的自相似结构，即具有自相似性。由于粗糙面一般具有非线性的几何结构，因此采用非线性的方法模拟粗糙面更能反映其物理本质。自然界的许多物体，如地、海表面、植被和森林等都在一定尺度范围内存在统计意义上的自相似性，由此很多学者将分形理论应用于电磁散射领域中，用于粗糙面的模拟^[12,13]。

1维带限Weierstrass-Mandelbrot分形函数的表达式为：

$\begin{align} f(x) = &\frac{{\sqrt 2 \delta {{\left[ {1 - {b^{(2D - 4)}}} \right]}^{1/2}}}}{{{{\left[ {{b^{(2D - 4){N_1}}} - {b^{(2D - 4)({N_2} + 1)}}} \right]}^{1/2}}}}\\ & \cdot \sum\limits_{n = {N_1}}^{{N_2}} {{b^{(D - 2)n}}\cos (2{{π}} s{b^n}x + {\varphi _n})} \end{align}$

(1)

其中， $\delta$ 为高度的均方根，b是空间基频，D为分形维数(1<D<2)，s为标度因子( $s = {K_0}/2{{π}}$ , K₀为空间波数)， ${\varphi _n}$ 为 $\left( {0,\;2{{π}} } \right)$ 上均匀分布的随机相位，该函数具有零均值。一般取b>1，b为有理数时，f(x)表现为周期函数；b为无理数时，f(x)为准周期函数。标度因子s决定频谱的位置，f(x)的无标度区间一般取 ${\left( {s{b^{{N_1}}}} \right)^{ - 1}}$ 和 ${\left( {s{b^{{N_2}}}} \right)^{ - 1}}$ ， $N = {N_2} - {N_1} + 1$ ，随着N的增加，越来越多的频率分量加到准周期。图1给出了1维分形粗糙面模型，当分维数D增加时，高频分量比重加大，低频分量作用减小，分形粗糙面的粗糙程度增大。根据瑞利判据，粗糙面相对于入射波的粗糙程度，除与粗糙面的高度函数有关还和入射波的频率有关。如普通的目标表面对于微波段来说是光滑的，但相对于太赫兹频段的波来说却是粗糙的。本文主要研究太赫兹波段下目标表面的微粗糙对其散射特性的影响。

图 1 1维分形粗糙面

Figure 1. One dimensional fractal rough surface

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2.2 分形表面粗糙目标模型

目标表面粗糙度引起的表面起伏一般在其对应的光滑表面的法线方向^[14]。因此，对于轴对称旋转目标而言，其表面的粗糙度可近似考虑为对应母线的起伏。将生成的1维分形粗糙面叠加到光滑目标模型对应的母线进行坐标变换，建立具有分形粗糙表面的目标模型。

对于如图2(a)所示的顶部为半球的粗糙钝锥模型，其母线可以表示为：

$x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {\bigr( {{r_1} + f\left( x \right)} \bigr)\cos \alpha ,}\\ \!\!\! {{r_1} + \Delta h\tan \beta + f\left( x \right)\cos \beta ,} \end{array}\;\;} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {y > 0}\\ {y < 0} \end{array}$

(2)

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! y = \left\{\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\bigr( {{r_1} + f\left( x \right)} \bigr)\sin \alpha ,}\\ {\Delta h + f\left( x \right)\sin \beta ,} \end{array}\;\;} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {y > 0}\\ {y < 0} \end{array}$

(3)

其中，r₁为顶部半球半径，r₂为底面半径，h为下部锥台高度， $\beta = {\rm{a}} \tan \left( {\left( {{r_2} - {r_1}} \right)/h} \right)$ 。将生成的圆锥母线导入CAD建模软件，对其绕Y轴旋转并进行坐标变换生成如图2(b)所示的具有分形粗糙表面的钝锥模型。

2.3 算法理论

由Stratton-Chu积分公式，目标远区散射场利用物理光学可表示为^[15]：

$\begin{align} {{{E}}^{\rm s}} =& \frac{{ - {\rm j}k}}{{4{{π}} }}\frac{{\exp ( - {\rm j}kr)}}{r}\int\nolimits_s {{\hat{ {s}}} \times [{\hat{ {n}}} \times {{E}} } \\ & - {Z_0}{\hat{ {s}}} \times ({\hat{ {n}}} \times {{H}})]\exp ({\rm j}k{{r}} \cdot {\hat{ {s}}}){\rm d}s \end{align}$

(4)

其中，k和Z₀分别为自由空间的波数和本征阻抗， $\hat {{s}}$ 为散射波的单位矢量，r为表面上一点的位置矢量， $\hat {{n}}$ 为目标表面向外单位法矢量，E和H分别为边界上总的电场和总的磁场。

涂覆介质表面的散射示意图如图3所示。其中 ${\theta _{\rm i}}$ 为入射角， $\hat {{i}}$ 和 $\hat {{s}}$ 分别为入射波和散射波的单位矢量，矢量 $\hat {{e}}_{\parallel}^{\rm{i}}$ 和 $\hat {{e}}_{\parallel}^{\rm{r}}$ 分别为入射电场、反射电场平行入射面的极化方向，矢量 ${\hat {{e}}_ \bot }$ 为入射电场和反射电场垂直入射面的极化方向。

图 3 表面涂覆目标示意图

Figure 3. Local coordinate systems for PO calculation with coating dielectric

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$\begin{align} &{{{E}}^{\rm i}} = {E_ \bot }{{{\hat{ {e}}}}_ \bot } + {E_\parallel }{{{\hat{ {e}}}}_\parallel\!\! ^{\rm{i}}}\, ,\\ & {{{E}}^{\rm s}} = {R_ \bot }{E_ \bot }{{{\hat{ {e}}}}_ \bot } + {R_\parallel }{E_\parallel }{{{\hat{ {e}}}}_\parallel \!\! ^{\rm{r}}} \end{align}$

(5)

其中， ${{{E}}^{\rm{i}}}$ 为边界上入射电场， ${{{E}}^{\rm{s}}}$ 为边界上散射电场， ${E_ \bot }$ 和 ${E_\parallel }$ 分别为入射电场在 ${{\hat{ {e}}}_ \bot }$ 和 ${\hat{ {e}}}^{\rm i}_\parallel$ 方向的场分量， ${R_ \bot }$ 和 ${R_\parallel }$ 分别为涂覆介质表面在垂直极化和水平极化时的反射系数^[16]。

涂覆目标雷达散射截面的计算公式为：

$\sigma = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } 4{{π}} {R^2}\frac{{{{\left| {{{{E}}^{\rm s}}} \right|}^2}}}{{{{\left| {{{{E}}^{\rm i}}} \right|}^2}}}$

(6)

3. 数值结果及讨论

3.1 验证算例

为了验证算法的正确性，先通过下面的模型算例加以说明。图4给出了3 GHz平面波TM极化入射下涂覆半球的双站雷达散射截面，其中半球的半径为0.5 m，涂覆厚度为d=2 cm，涂层介质相对介电常数为 ${\varepsilon _{\rm{r}}} = 36.0$ ，相对磁导率为 ${\mu _{\rm{r}}} = 1.0$ 。RCS结果曲线可以看出物理光学法和多层快速多极子方法(MLFMA)吻合良好，验证了程序的正确性。

图 4 涂覆半球模型双站RCS

Figure 4. Bistatic RCS of the verification models

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图5给出了频率为3 THz的平面波入射下导体立方体的单站雷达散射截面，结果与文献[3]中采用多层快速多极子方法结果一致，可以看出物理光学方法用于计算THz频段目标散射的有效性。

图 5 导体立方体模型单站RCS

Figure 5. Mono-static RCS of the PEC cube model

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3.2 数值结果

对于图2(b)所示的具有分形粗糙表面的钝锥模型，其顶部半球半径r₁=1 mm，底面半径r₂=3 mm，锥台高度h=12 mm，分形粗糙面的分维数D=1.5，b=1.5，均方根高度 $\delta = 0.02\;{\rm{mm}}$ 。涂覆材料相对介电常数 ${\varepsilon _{\rm{r}}} = (4.0,\, - 1.5)$ ，相对磁导率 ${\mu _{\rm{r}}} =(2.0,\, - 1.0)$ ，涂覆层厚度d=0.03 mm。首先对钝锥导入CAD建模软件进行满足物理光学近似的网格剖分，根据菲涅尔反射系数得出钝锥表面电流分布进而计算其散射场。

图 2 表面分形粗糙钝锥模型

Figure 2. The roughness surface targets model

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从图6中结果可以看出，对于模型尺寸相同的光滑钝锥与表面粗糙钝锥的单站雷达散射截面曲线走势基本一致，随着入射角的增大，RCS增大，垂直于锥面照射时达到最大峰值。图6(a)入射频率为30 GHz的情况下光滑钝锥与分形粗糙钝锥的RCS除了小角度基本上重合，可以看出在微波频段目标表面的微粗糙度对RCS的影响很小，可以忽略。图6(b)、图6(c)表明太赫兹波段下光滑钝锥和分形粗糙钝锥目标雷达散射截面出现差异，表面的分形粗糙度引起目标RCS曲线震荡起伏，且频率越高起伏越明显，曲线波动越大。因此在太赫兹波段，目标表面的粗糙度对其散射特性的影响需要考虑。

图 6 钝锥模型单站RCS

Figure 6. Mono-static RCS of the coated blunt cone model with different incident frequency

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图7给出了入射波频率为3 THz的不同涂层厚度的粗糙表面目标的后向RCS。可以看出相对于表面为导体的情况，涂覆介质以后，钝锥目标的雷达散射截面几乎在所有角度都有明显减小，并且随着涂层厚度的增大，雷达散射截面持续减小。涂覆介质层对雷达散射截面的缩减有明显的作用，在一定范围内随着涂层厚度的增大，涂覆介质对电磁波的吸收增加表面粗糙钝锥的后向RCS减小。

图 7 不同涂覆厚度的钝锥单站RCS

Figure 7. Mono-static RCS of the blunt cone models coated with different thicknesses

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图8给出了不同入射频率下钝锥单站RCS。随着频率的升高，表面粗糙钝锥的后向RCS多数角度下降，且频率越高RCS值下降得越多。随着频率的增大，入射波的波长变小，目标表面的粗糙度与入射波长的比值增大，粗糙度引起的漫散射效应增大，目标RCS受到表面粗糙度的影响，曲线峰值变得不明显。

图 8 不同入射频率钝锥模型单站RCS

Figure 8. Mono-static RCS of the coating blunt cone models with different incident frequency

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图9给出了不同表面粗糙度的圆柱模型单站雷达散射截面，其半径为r=16.25 mm，高度为h=102 mm，入射波频率为0.3 THz。

图 9 不同粗糙度圆柱模型单站RCS

Figure 9. Mono-static RCS of the cylinder models with different

$\delta$

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图10给出了不同表面粗糙度的锥柱模型单站雷达散射截面，半径r=16.25 mm，顶部圆锥高度h₁=48.5 mm，底部圆柱部分高度h₂=102 mm，入射波频率为0.3 THz。从图9和图10给出的结果可以看出，随着均方根高度的增加，目标表面的粗糙度变大，相对于0.3 THz的入射波其波长仅有1 mm，目标更加粗糙，粗糙度对目标的散射结果影响增大。当粗糙度较小时，RCS曲线可以看作是在光滑模型散射结果叠加小起伏震荡；粗糙度增大以后由表面粗糙度引起的RCS起伏甚至在某些角度可以改变光滑模型的散射曲线。

图 10 不同粗糙度锥柱模型单站RCS

Figure 10. Mono-static RCS of the cone-cylinder models with different

$\delta$

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4. 结论

本文参考分形粗糙面模拟随机环境的方法来建立具有分形粗糙表面目标，采用基于基尔霍夫近似的物理光学方法研究了涂覆目标的太赫兹散射特性。分析了不同的入射波频率以及不同涂层厚度的分形粗糙表面模型在太赫兹波段的散射特性。相对于微波频段波长远大于目标表面微米量级的粗糙度，粗糙度的影响可以不考虑，而在太赫兹波段，波长与粗糙度处于等量级，必须考虑到粗糙度对于目标散射结果的影响。目标表面有涂覆介质材料时，目标的雷达散射截面小于导体情况下的结果，且在一定的范围内涂覆层越厚，目标雷达散射截面吸收越明显。

图 1 地基雷达图像无监督变化检测流程图

Figure 1. Flow chart for unsupervised change detection based on ground-based radar image

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图 2 监测现场图

Figure 2. Monitoring site images

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图 3 实验数据

Figure 3. Experimental data

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图 4 初始差异图

Figure 4. Initial difference images

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图 5 差异图对比

Figure 5. Difference images comparison

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图 6 聚类结果对比

Figure 6. Clustering result comparison

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图 7 监测现场光学图

Figure 7. Optical image of monitoring site

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图 8 变化检测结果与地形3维数据融合图

Figure 8. Effect of fusion of change detection results and UAV tilt photography

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表 1 改进的FCM算法计算步骤

Table 1. Improved FCM algorithm calculation steps

　算法：改进的FCM算法计算步骤

　输入：融合差异图每个像素的特征向量

${{ Y}_\eta }$

　(1) 初始化隶属度

$u$ ，满足式(10)；

　(2) 通过式(12)计算聚类中

${C_i}$ ；

　(3) 根据式(17)计算目标函数

$J$ ；

　(4) 迭代计算：当迭代次数

$\le q$ 时，

　　　　根据式(18)更新隶属度矩阵，返回步骤(2)继续执行

　　　　当迭代次数

$> q$ 时，

　　　　停止迭代；

　输出：隶属度矩阵

${{ u}_{\eta 1} }$ 和

${{ u}_{\eta 2} }$

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表 2 地基雷达LSA系统参数

Table 2. Ground-based radar LSA system parameters

参数	数值	参数	数值
频率范围	16.5～17.5 GHz	监测范围(方位向)	60°× 30°
形变监测精度	0.1 mm	脉冲重复频率	优于500 Hz
作用距离	5 km	位移观测周期	240～600 s
图像分辨率	0.3 m × 0.0054 rad	供电电源	AC 220 V/DC 24 V
设备总重	$\le 150\;{\rm{kg} }$	工作温度	–30～ 50 ℃

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参考文献(21)

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1. 引言
2. 表面粗糙目标模型
2.1 分形粗糙面
2.2 分形表面粗糙目标模型
2.3 算法理论
3. 数值结果及讨论
3.1 验证算例
3.2 数值结果
4. 结论

基于地基雷达图像的无监督变化检测

DOI: 10.12000/JR20004

通讯作者:
黄平平 hpp@imut.edu.cn

计量

Unsupervised Change Detection Using Ground-based Radar Image

Corresponding author: HUANG Pingping, hpp@imut.edu.cn

1. 引言

2. 表面粗糙目标模型

2.1 分形粗糙面

2.2 分形表面粗糙目标模型

2.3 算法理论

3. 数值结果及讨论

3.1 验证算例

3.2 数值结果

4. 结论

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1. 引言

2. 表面粗糙目标模型

2.1 分形粗糙面

2.2 分形表面粗糙目标模型

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2.1 分形粗糙面

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2. 表面粗糙目标模型

2.1 分形粗糙面

2.2 分形表面粗糙目标模型

2.3 算法理论

3. 数值结果及讨论

3.1 验证算例

3.2 数值结果

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