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A ISAR Imaging Method for Space Targets Based on Fast Estimation of Joint Motion Parameters
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摘要: 逆合成孔径雷达(ISAR)是空间目标成像和监测的重要手段之一，大转角下空间目标成像结果的越分辨单元徙动(MTRC)现象加剧，严重影响ISAR成像的性能。为快速估计和补偿空间目标运动产生的回波相位误差，结合BFGS优化算法效率高与极坐标格式变换算法(PFA)补偿精度高的优势，该文提出了一种基于联合运动参数快速估计的空间目标ISAR成像方法。所提方法建立了目标平动和转动参数联合估计的最小化图像熵优化模型；为降低优化陷入局部最优的可能，设计了目标参数粗估计和精估计的高效BFGS求解子步骤，实现了目标转动参数的快速估计与大转角情况下MTRC的补偿。点目标仿真和实测民航客机数据成像结果表明，相比PSO-PFA算法，所提方法在低信噪比条件下的运动参数估计精度更高，运算时间缩短为原来的五分之一，具有显著优势。Abstract: Inverse Synthetic Aperture Radar (ISAR) is an important tool for imaging and monitoring space targets. The large rotation angle of space targets can exacerbate the phenomenon of Migration Through Resolution Cells (MTRC), seriously affecting the ISAR imaging performance. For the fast estimation and compensation of echo phase errors caused by the motion of space targets, this paper proposes an ISAR space-target imaging method based on the rapid estimation of joint motion parameters. This method combines the advantages of the high efficiency of the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) optimization algorithm and the high compensation accuracy of the Polar Format Algorithm (PFA) algorithm. The proposed method formulates an image entropy minimization model considering the joint estimation of the translation and rotation parameters of the target. To reduce the possibility of optimization falling into local optima, the proposed method solves sub-steps, which comprise rough and fine estimations of the target motion parameters, using the BFGS optimization algorithm. The proposed method rapidly estimates target rotation parameters and performs quick MTRC compensation under large rotation angles. The simulation of point targets and imaging results of actual civil aircraft data show that compared with the Particle Swarm Optimization-Polar Format Algorithm (PSO–PFA) algorithm, the proposed method estimates motion parameters with a higher accuracy under low signal-to-noise ratio conditions. Further, the computational efficiency is improved by more than five times, which is significantly advantageous.
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1. 引言
随着航空航天和空天信息技术的蓬勃发展，卫星、空间站、空间碎片、近地小行星等各类非合作空间目标的数量日益增加。构建全面、可靠的空间目标监视系统，确保各类空间目标的实时监测与安全预警，已成为迫在眉睫的问题[1]。逆合成孔径雷达(Inverse Synthetic Aperture Radar, ISAR)成像作为一种主动式微波成像技术，能够全天时、全天候实现空间目标的远距离高分辨率成像，因此在国防安全、目标探测等方面具有广泛应用[2−7]。
在运动目标ISAR成像中，一般将雷达与目标之间的相对运动等效为转台模型，将目标运动分解为沿雷达视线方向的平移运动和绕目标中心的旋转运动。假设目标旋转运动为小角度匀速旋转，利用距离-多普勒(Range-Doppler, RD)等成像算法，在距离向通过宽带回波信号脉冲压缩实现成像，在方位向通过目标绕中心转动的多普勒信息实现成像。由于小角度匀速旋转假设忽略了目标转动引起的空变相位误差，导致成像结果中目标能量出现在多个距离和方位分辨单元内，这种现象即越分辨单元徙动(Migration Through Resolution Cell, MTRC)现象[8]。当合作目标可精确给出运动状态信息，或者非合作目标转动速度和转动加速度不大时，MTRC对成像结果的影响不大。然而，在卫星离轨再入大气层[9]等场景下，空间目标在陨落过程中姿态不受控制，目标转动速度和转动加速度引起的空变相位误差导致MTRC加剧，使空间目标的ISAR成像质量大大降低。
在空间目标ISAR成像中，MTRC补偿的方法主要分为基于Keystone变换[10]和基于极坐标格式变换算法(Polar Format Algorithm, PFA)[11]两大类。其中，Keystone变换和广义Keystone变换[12−14](Generalized Keystone Transform, GKT)等方法本质上是利用时频分析工具获得特定子孔径内的频谱，从而减弱长孔径内目标转动速度时变造成的高次相位项的影响。然而，在转角较大时，Keystone变换类算法的成像质量大大降低。基于PFA的方法通过波数域插值和二维频域处理，能适用于更大转角范围的空间目标ISAR成像[15]。虽然PFA是一种可靠的大转角成像算法，但其需要把目标转动参数作为已知条件，成像质量受目标转动模型和转动参数估计准确性的影响较大。因此，基于PFA算法实现高分辨率空间目标ISAR成像的关键是精确估计目标的转动参数，而参数估计的精度和速度主要取决于参数建模与参数估计算法的设计。
针对上述问题，文献[16]采用二阶局部多项式傅里叶变换(Second-Order Local Polynomial Fourier Transform, SO-LPFT)确定目标转动参数。但是，在低信噪比下，时频分析类方法的估计性能不佳。在假设目标匀速转动的场景下，杜荣震、吴熙芃等人通过构建最小化图像熵优化模型，采用黄金分割法[17]或者粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)[18]等全局优化算法实现目标转动参数估计。但是，全局优化算法计算复杂度高，耗时较长。文献[19,20]等基于最小熵优化框架，采用基于梯度的BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)算法实现空变相位误差估计。但是，BFGS算法对迭代初值相对敏感，尤其是针对需要同时估计转动速度和转动加速度等参数的多元优化问题，如果初值选取不当，很容易陷入局部最优解。文献[19]中转动参数迭代初值确定依赖卫星飞行姿态以及雷达与卫星的几何关系，在卫星离轨再入大气层等场景下[9]，目标飞行姿态发生改变，产生自转或翻滚运动。此时，文献[19]的方案难以确定合适的迭代初值。
因此，针对空间目标ISAR成像的MTRC补偿问题，本文提出了一种基于联合运动参数快速估计的空间目标ISAR成像方法。该方法的贡献总结如下：
(1) 针对空间目标ISAR成像，结合BFGS优化算法与PFA算法，实现目标转动参数的快速估计与大转角情况下MTRC的补偿；
(2) 建立目标平动相位误差和转动参数联合估计的最小化图像熵优化模型；
(3) 为降低优化陷入局部最优的可能，设计目标参数粗估计和精估计的高效BFGS求解子步骤。
仿真和实测数据处理结果表明，相比文献[18]的方法，所提方法可实现相同成像质量条件下，更快的算法运行速度。
2. 空间目标ISAR成像机理
ISAR成像用转台模型对目标运动进行建模，将目标运动分解为沿着雷达视线方向的平动和绕旋转中心o的转动，如图1所示。设定目标转动中心o为原点，沿着雷达视线方向为x轴，垂直雷达视线方向为y轴。假设目标中某散射点$ P{(}x{,}y{)} $的后向散射系数为$ \rho {(}x{,}y{)} $，该散射点与转动中心的距离为r，与雷达距离为$ {R_{p}}{(}{t_m}{) = }R{(}{t_m}{) + }{R_\Delta }{(}{t_m}{)} $。其中， $ R{(}{t_m}{) = } {R_0} + {R_m}{(}{t_m}{)} $，$ {R_0} $代表雷达与目标的参考距离，$ {R_m}{(}{t_m}{)} $代表目标在雷达视线方向的平动，$ {R_\Delta }{(}{t_m}{)} $体现目标的转动，可以表示为
RΔ(tm)=Rp(tm)−R(tm)=√[R(tm)+x]2+y2−R(tm)≈rcos{θ0+θ(tm)}=xcos{θ(tm)}−ysin{θ(tm)} (1) 其中，$ {\theta _0} $为初始转角，$ \theta {(}{t_m}{)} $为成像过程中目标转过的角度。设定t是快时间(距离向时间)，$ {t_m} $是慢时间(方位向时间)。
假设雷达发射线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号：
s0(t)=rect[tTp]exp{j2π(fc+0.5Krt)t} (2) 其中，$ {f_{\rm c}} $为雷达中心频率，$ {K_{\rm r}} $为调频率，$ {T_{\rm p}} $为脉冲持续时间。在脉内运动补偿[21]后，得到回波信号：
sr(t,tm)=∑x∑yρ(x,y)rect[t−2Rp(tm)/cTp]⋅exp{j2π[fc+0.5Kr(t−2Rp(tm)c)]⋅(t−2Rp(tm)c)} (3) 其中，c为光速。根据参考距离$ {R_0} $，设计参考信号为
sref(t,tm)=exp{j2π[fc+0.5Kr(t−2R0c)](t−2R0c)} (4) 对回波信号做去斜压缩处理，得到结果如下：
s(t,tm)=sr(t,tm)s∗ref(t,tm)=∑x∑yρ(x,y)rect[t−2Rp(tm)cTp]⋅exp{−j4πcKr[t−2R0c]RT(tm)}⋅exp{−j4πcfcRT(tm)}⋅exp{j4πc2Kr[RT(tm)]2} (5) 其中，$ {R_T}{(}{t_m}{) = }{R_m}{(}{t_m}{)} + {R_\Delta }{(}{t_m}{)} $，包含目标平动和转动的信息。下一步，对式(5)做距离向快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)，得到：
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tp⋅sinc[Tp(f+2cKrRT(tm))]⋅exp{−j4πcfcRΔ(tm)}⋅exp{−j4πcfcRm(tm)}⋅exp{−j4πcfRT(tm)}⋅exp{−j4πc2Kr[RT(tm)]2} (6) 在式(6)中，第1个相位项代表目标转动，体现目标的多普勒信息；第2个相位项和$ {\mathrm{sinc}} $项内的$ {R_m}{(}{t_m}{)} $代表目标平动，可通过包络对齐[22,23]实现补偿；第3、4个相位项可通过剩余视频相位(Residual Video Phase, RVP)补偿[2]去除。经过上述补偿，得到
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tpsinc[Tp(f+2cKrRΔ(tm))]⋅exp{−j4πcfcRΔ(tm)}exp{−jφ(tm)} (7) 其中，$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}\varphi {(}{t_m}{)\} } $为包络对齐后剩余的平动相位误差。假设目标做小转角匀速转动，在成像时间内的转动角度为$ \theta {(}{t_m}{) = }\omega {t_m} $，$ \omega $为转动速度。将$ \theta {(}{t_m}) = \omega {t_m} $代入式(1)，进行一阶泰勒展开，结果表示如下：
RΔ(tm)≈x−yωtm (8) 由此，可以将式(7)写为
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tpsinc[Tp(f+2cKrRΔ(tm))]⋅exp{−j4πcfc(x−yωtm)}exp{−jφ(tm)} (9) 在式(9)中，指数项包含目标的多普勒信息。在小角度匀速旋转的假设下，$ {\mathrm{sinc}} $项内的$ {R_\Delta }{(}{t_m}{)} $对成像结果的影响不大，可以认为是常数。经过相位调整[24,25]补偿$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}\varphi {(}{t_m}{)\} } $后，由于多普勒频移与目标方位向尺度呈线性比例，直接进行方位向FFT，即可实现方位向聚焦，得到聚焦良好的二维ISAR图像。
3. 联合运动参数估计的最小化图像熵优化模型
根据第2节分析，在小角度匀速旋转假设下，能够得到聚焦良好的二维ISAR图像。但是，在卫星离轨再入大气层等场景下，小角度匀速旋转假设不再适用。目标转动导致成像结果的MTRC加剧，严重影响ISAR成像质量。为实现精确的转动补偿，本节将空间目标的转动建模为匀加速旋转，通过公式推导分析成像结果产生MTRC的原因，构建平动相位误差和转动参数联合估计的最小化图像熵优化模型。
在空间目标ISAR成像中，本节将目标转动建模为匀加速旋转，表示为
θ(tm)=ωtm+12γt2m (10) 其中，$ \gamma $为转动加速度。将式(10)代入式(1)，进行二阶泰勒展开，得到
RΔ(tm)≈x(1−ω2t2m2)−y(ωtm+12γt2m) (11) 因此，在空间目标ISAR成像过程中，式(7)可写为
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tp⋅sinc[Tp(f+2cKrRΔ(tm))]⋅exp{−j4πcfc(x−yωtm)}⋅exp{−j4πcfcxω2t2m2}⋅exp{−j4πcfcy12γt2m}exp{−jφ(tm)} (12) 在实际情况中，还应考虑成像时图像中心位置与目标实际转动中心位置的偏移$ {\Delta }x $，式(12)可以写为
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tp⋅sinc[Tp(f+2cKrRΔ(tm))]⋅exp{−j4πcfc(x−yωtm)}⋅exp{−j4πcfc(x+Δx)ω2t2m}⋅exp{−j4πcfcyγ2t2m}⋅exp{−jφ(tm)} (13) 此时，$ {\mathrm{sinc}} $项中距离向参数f与$ {R_\Delta }{(}{t_m}{)} $的耦合造成距离向MTRC。目标的转动速度、转动加速度导致指数项出现空变的二次相位。其中，$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}4\pi {f_{\rm c}}{(}x{ + \Delta }x{)}{\omega ^2}t_m^2/{\mathrm{c}}{\} } $代表目标转动速度引起的二次相位，$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}4\pi {f_{\rm c}}y\gamma t_m^2{/(2}{\mathrm{c}}{)\} } $代表目标转动加速度引起的二次相位。$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}\varphi {(}{t_m}{)\} } $代表平动相位误差。若直接通过方位向FFT成像，二次相位将造成主瓣展宽和旁瓣电平升高，导致成像结果质量严重下降，即方位向MTRC。
为方便后续处理，构造方位向频率$ {f_q}{ = } 2y{f_{\rm c}}\omega /{\mathrm{c}} $，以及机动因子$ \mu { = }\gamma /(2\omega) $。因此，将式(13)改写为
S(f,tm)=∑x∑yρ(x,y)Tp⋅sinc[Tp(f+2cKrRΔ(tm))]⋅exp{−j4πcfc(x−yωtm)}⋅exp{−j2πfqμt2m}⋅exp{−j4πcfc(x+Δx)ω2t2m}⋅exp{−jφ(tm)} (14) 然后，构造补偿项
F(f,tm;φ(tm),Δx,ω)=exp{jφ(tm)}⋅exp{j4πcfc(x+Δx)ω2t2m} (15) 其中，$ \varphi {(}{t_m}{)} $, $ {\Delta }x $和$ \omega $均为未知量，需要估计。在补偿式(14)后两项指数项后，通过方位向的匹配傅里叶变换(Matching Fourier Transform, MFT)[26,27]，得到成像结果
z(f,fm;φ(tm),Δx,ω,μ)=MFTaz{S(f,tm)F(f,tm;φ(tm),Δx,ω)} (16) 其中，$ {{\mathrm{MFT}}_{az}} $为方位向的匹配傅里叶变换。该变换可以表示为
FMFT(μ)=∫f(tm)exp{−j2πfq(1+μtm)tm}dtm (17) 从式(16)可知，待估计未知量可以整理为$ {\boldsymbol{k}} = [{\varphi _1}\, {\varphi _2}\, \cdots\, {\varphi _{{\mathrm{Na}}}}\, \Delta x\, \omega \,\mu {]} $。将成像结果$ z{(}f{,}{f_m}{;}\varphi {(}{t_m}), \Delta x{,}\omega {,}\mu {)} $离散化为矩阵形式，得到$ z{(}m,n{;}{\boldsymbol{k}}{)} $。其中，m代表方位向采样，$ m{ \in [}1{,}{\mathrm{Na}}{]} $，n代表距离向采样，$ n{ \in [}1{,}{\mathrm{Nr}}{]} $。$ {\mathrm{Na}} $为方位向采样点数，$ {\mathrm{Nr}} $为距离向采样点数。将式(16)离散化为矩阵形式，那么$ z{(}m,n{;}{\boldsymbol{k}}{)} $可以表示为
z(m,n;k)=exp{−j2πfq(1+μtm)tm}⋅[S(m,n)⊙F(m,n;k)] (18) 其中，$ \odot $为哈达玛乘积，代表对应矩阵元素相乘。$ \exp{\{ - }{\mathrm{j}}2\pi {f_q}{(}1{ + }\mu {t_m}{)}{t_m}{\} } $代表方位向匹配傅里叶变换的矩阵形式，大小为$ {\mathrm{Na}} \times {\mathrm{Na}} $。在式(18)中，$ {t_m} = [m - {\mathrm{Na}}/2{]/}{\mathrm{PRF}} $，$ {\mathrm{PRF}} $为脉冲重复频率，$ {f_q}{ = [}m - {\mathrm{Na}}/2{]} {\mathrm{PRF}}{/}{\mathrm{Na}} $。$ S{(}m{,}n{)} $为$ S{(}f{,}{t_m}{)} $的离散化形式，$ F{(}m{,}n{;}{\boldsymbol{k}}{)} $为$ F{(}f{,}{t_m}{;}\varphi {(}{t_m}{),\Delta }x{,}\omega {)} $的离散化形式，表示为
F(m,n;k)=exp{jφm}exp{j4πcfc(x+Δx)ω2t2m} (19) 其中，$ x{ = [}n - {\mathrm{Nr}}/2{]}{\mathrm{c}}/(2B) $。对$ z{(}m,n{;}{\boldsymbol{k}}{)} $求成像结果的图像熵[28]，得到
Hz(k)=−Na∑m=1Nr∑n=1|z(m,n;k)|2Ezln(|z(m,n;k)|2Ez) (20) 其中，$ {E_z} $为成像结果$ z{(}m,n{;}{\boldsymbol{k}}{)} $的能量。将式(20)展开，得到
Hz(k)=−1EzNa∑m=1Nr∑n=1|z(m,n;k)|2ln(|z(m,n;k)|2)+lnEz (21) 当图像熵最小时，目标聚焦程度最好，对应的k取值即为所需的估计值。由此，可以建立平动相位误差和转动速度、转动加速度联合估计的最小化图像熵优化模型，如式(22)所示：
k=argmin (22) 针对式(22)所示优化模型的多元参数估计问题，梯度类算法等局部优化算法的收敛速度快，但是容易陷入局部最优。因此，所提算法通过粗估计处理求解较为精确的迭代初值，克服梯度类算法易陷入局部最优的问题，实现多元参数的快速精确估计。
4. 基于联合运动参数快速估计的空间目标ISAR成像方法
为实现多元参数的估计与空间目标的ISAR成像，本节提出了一种基于联合运动参数快速估计的空间目标ISAR成像方法，如图2所示。首先，对原始回波数据进行预处理，通过脉内运动补偿、距离向FFT、RVP补偿和包络对齐等步骤，得到式(13)所示的结果。接着，构建式(22)所示的最小化图像熵优化模型。然后，选取特显点距离单元，进行目标参数的粗估计。之后，以粗估计值为迭代初值，利用基于坐标下降的BFGS算法对优化模型进行求解，精确估计目标参数。最后，利用PFA算法实现MTRC的校正，并通过二维FFT完成对目标的成像。
4.1 目标参数粗估计处理方法
为实现迭代初值的快速确定，本节介绍目标参数粗估计处理方法，该方法的具体处理流程如下：
步骤1 距离单元选取。
选取特显点单元作为待处理的距离单元，特显点单元是指归一化幅度方差最小的距离单元，如式(23)所示。
{n_z}{ = }\mathop {\min}\limits_n \left\{ 1{ - }\frac{{{{{[}E{(}|{\boldsymbol{z}}{(}:,n{)|)]}}^2}}}{{E{[|}{\boldsymbol{z}}{(}:,n){{|}^2}{]}}}\right\} (23) 由式(16)，可构建只包含选取距离单元的熵表达式
\begin{split} {H_z}{(}{\boldsymbol{k}}) =\;& - \frac{1}{{{E_z}}}\sum\limits_{m = 1}^{{\mathrm{Na}}} \sum\limits_{{n_z}}^{} {|}{\boldsymbol{z}}{(}m,{n_z};{\boldsymbol{k}}{)}{{|}^2}\\ & \cdot\ln{(|}{\boldsymbol{z}}(m,{n_z};{\boldsymbol{k}}{)}{{|}^2}{)} { + }\ln{E_z} \end{split} (24) 其中，$ {n_z} $为所选取的距离单元。只针对选取距离单元进行处理，估计目标参数，可以有效减少运算量。
步骤2 特征向量法实现相位粗估计。
利用选取的距离单元，使用特征向量法[29]实现平动相位误差的粗估计和补偿。首先，计算协方差矩阵
C{ = }{\boldsymbol{z}}{(}m,{n_z}{)}{{\boldsymbol{z}}^{\mathrm{H}}}{(}m,{n_z}{)} (25) 然后，根据协方差矩阵对应的最大特征向量$ {\boldsymbol{\varPhi}} $构造相位误差矩阵，实现平动相位误差的粗估计和校正。
步骤3 全局优化实现机动因子粗估计。
在平动相位误差粗校正后，利用选取的距离单元，使用粒子群优化算法，求解式(24)和式(22)的优化模型，实现对目标转动因子$ \mu $的粗估计。
目标参数粗估计处理方法只选用特定的距离单元进行处理，没有使用全部距离单元的数据。因此，粗估计方法运算量更小、速度更快。在完成目标参数的粗估计后，可以确定BFGS算法的迭代初值，接下来可以通过精估计算法实现目标参数的精确估计。
4.2 目标参数精估计处理方法
在确定迭代初值后，针对式(22)，使用基于坐标下降的BFGS算法，实现目标参数的估计。BFGS算法[21,30,31]是对牛顿法的改进，通过较小代价计算近似矩阵代替黑塞矩阵，以解决黑塞矩阵计算量过大的问题。
在求解k中任意元素$ {k_i} $时，固定其他元素不动，得到
{k_i}{ = }{\mathrm{arg}}\,\mathop {{\mathrm{min}}}\limits_{{k_i}} \,{H_z}{(}{k_i}{)} (26) 为求解$ {H_z}({k_i}) $最小化问题，BFGS算法的伪代码如算法1所示[31]。
1 BFGS算法伪代码1. Pseudocode for the BFGS algorithm.输入：待估计值$ {k_i} $，目标函数$ {H_z}{(}{k_i}{)} $ 初始化：粗估计值$ {k^0_i} $，黑塞矩阵$ {H^0}{ = }{\bf{I}} $，步长$ {\alpha ^j} $，迭代次数$ j = 0 $。 开始迭代： 1. 更新变量： $ k_i^{j + 1}{ = }k_i^j - {\alpha ^j}{H^j}\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^j}} $ (33) $ {x^j}{ = }k_i^{j + 1}{ - }k_i^j $ (34) $ {y^j}{ = }\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^{j + 1}}}{ - }\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^j}} $ (35) 2. 更新黑塞矩阵： $ {\rho ^j}{ = }\dfrac{1}{{{{{(}{x^j}{)}}^{\mathrm{T}}}{y^j}}} $ (36) $ {H^{j + 1}}{ = [}{\bf{I}}{ - }{\rho ^j}{y^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}}{{]}^{\mathrm{T}}}{H^j}{[}{\bf{I}}{ - }{\rho ^j}{y^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}}{] + }{\rho ^j}{x^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}} $ (37) $ j{ = }j{ + }1 $ (38) 3. 判断是否达到阈值 输出：完成迭代后，输出估计值 接下来，给出$ {H_z}({k_i}) $对$ {k_i} $的一阶偏导数计算公式。当$ {k_i}{ = }\mu $时，计算其一阶导数较为复杂，可对$ {H_z}({k_i}) $求差分近似代替其导数，其差分计算公式为
\frac{{\partial {H_z}{(}\mu {)}}}{{\partial \mu }}{ \approx }\frac{{H_z}{(}\mu { + \Delta }h{)}-{{H_z}{(}\mu {)}}}{{{\Delta }h}} (27) 其中，$ {\Delta }h{ \to }0 $，所提算法中取值为10–5。当$ {k_i}{ \ne }\mu $时，信号的能量$ {{{E_{{z}}}}} $守恒，对式(21)求导，得到
\begin{split} \frac{{\partial {H_z}{(}{k_i}{)}}}{{\partial {k_i}}} =\;& - \frac{1}{{{{{E_{{z}}}}}}}\sum\limits_{m = 1}^{{\mathrm{Na}}} \sum\limits_{n = 1}^{{\mathrm{Nr}}} \{ [\ln{(|}z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}{{|}^2}{)} + 1{]}\\ & \cdot\frac{{\partial {|}z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}{{|}^2}}}{{\partial {k_i}}} \} \\[-1pt] \end{split} (28) \begin{split} \frac{{\partial {|}z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}{{|}^2}}}{{\partial {k_i}}} =\;& \frac{{\partial {(}{z^*}{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{))}}}{{\partial {k_i}}} \\ =\;& 2{\mathrm{Re}}\left({z^*}{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}\frac{{\partial z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}}}{{\partial {k_i}}}\right) \end{split} (29) \begin{split} \frac{{\partial z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}}}{{\partial {\varphi _i}}} =\;& {\mathrm{j}} \exp{\{ }{\mathrm{j}}{\varphi _i}{\} }\exp{\{ }{\mathrm{j}}2\pi {f_{qm}}{(}1{ + }\mu {t_i}{)}{t_i}{\} } \\ & \odot z{(}i,n;{\boldsymbol{k}}{)} \end{split} (30) \begin{split} \frac{{\partial z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}}}{{\partial {\Delta }x}} =\;& \exp{\{ - }{\mathrm{j}}2\pi {f_q}{(}1{ + }\mu {t_m}{)}{t_m}{\} }S{(}m,n{)}\\ \;& \cdot\exp{\{ }{\mathrm{j}}{\varphi _m}{\} } \odot \{ {\mathrm{j}}\frac{{4\pi }}{{\mathrm{c}}}{\omega ^2}t_m^2 \\ & \odot \exp\{ {\mathrm{j}}\frac{{4\pi }}{{\mathrm{c}}}{(}x{ + \Delta }x{)}{\omega ^2}t_m^2\} \} \end{split} (31) \begin{split} \frac{{\partial z{(}m,n;{\boldsymbol{k}}{)}}}{{\partial \omega }} =\;& \exp{\{ - }{\mathrm{j}}2\pi {f_q}{(}1{ + }\mu {t_m}{)}{t_m}{\} }S{(}m,n{)}\\ \;& \cdot\exp{\{ }{\mathrm{j}}\varphi {\} } \odot \{ {\mathrm{j}}\frac{{4\pi }}{{\mathrm{c}}}{(}x{ + \Delta }x{)}2\omega t_m^2 \\ \;& \odot \exp\{ {\mathrm{j}}\frac{{4\pi }}{{\mathrm{c}}}{(}x{ + \Delta }x{)}{\omega ^2}t_m^2\} \} \end{split} (32) 式(27)—式(32)即为求解其一阶偏导数的过程。将粗估计值作为初值，根据算法1流程，利用基于坐标下降的BFGS算法实现对目标参数的精确估计。在算法迭代过程中，可以将阈值设置为10–6。经过粗估计和精估计处理，得到目标参数的精确估计值，最后通过PFA算法[15]实现对MTRC的校正。
5. 实验结果与分析
本节通过仿真与实测数据验证所提算法的有效性和计算效率。本节将平动相位误差补偿与文献[18]的算法串联作为对比算法，下面称为PSO-PFA算法。在PSO-PFA算法中，设置粒子数量为30，迭代阈值为0.001。首先，本节利用点目标仿真数据，对比所提算法与RD算法、PSO-PFA算法的成像效果和运算时间，并在不同信噪比条件下对比各类算法的有效性。然后，利用实测民航客机成像数据，通过对比不同算法的成像结果和运算时间，进一步验证所提算法的优势。
5.1 点目标仿真实验
本节使用图3所示模型进行点目标仿真实验，设定目标转动中心为原点，散射点间距0.5 m。散射点围绕转动中心沿顺时针做匀加速旋转，转动速度为0.08 rad/s，转动加速度为0.01 rad/s2，雷达对目标观测时间为2 s，观测时间内目标转动角度约为9°。设定雷达发射LFM信号，对回波信号做去斜压缩处理后采样，雷达具体参数如表1所示。所有实验均在同一台笔记本完成，处理器为Intel Core i5-12500H 3.10 GHz，内存 64 GB，处理软件为MATLAB R2024a。
表 1 仿真参数表Table 1. Simulation parameter table仿真参数 数值 中心频率 20 GHz 脉冲宽度 200 μs 带宽 4 GHz 脉冲重复频率 100 Hz 去斜后距离向采样率 20 MHz 图4第1行是在信噪比为5 dB的环境下，RD算法、PSO-PFA算法和所提算法对点目标的成像结果。可以看出，RD算法成像结果在距离向和方位向都引起严重的散焦，验证了目标转动速度、转动加速度引起的二次相位会导致MTRC。并且，散射点距离转动中心越远，MTRC就越严重，这和式(13)保持一致。所提算法和PSO-PFA算法都比较好地抑制了MTRC，目标聚焦程度较好，两种算法成像效果基本一致。从表2可知，在信噪比为5 dB的环境下，两种算法的转动参数估计精度相近，但是所提算法的运算时间远小于PSO-PFA算法。
图 4 不同信噪比下仿真成像结果对比Figure 4. Comparison of simulated imaging results under different SNR表 2 不同信噪比下各算法运算时间和转动参数估计质量比较Table 2. Comparison of algorithm calculation time and rotation parameter estimation quality under different SNR信噪比(dB) 算法 运算时间(s) 转动速度
(rad/s)转动速度估计误差
(rad/s)转动加速度
(rad/s2)转动加速度
估计误差(rad/s2)理论值 0.0800 0.0100 5 PSO-PFA算法 48.09 0.0779 0.0021 0.0096 0.0004 所提算法 10.40 0.0784 0.0016 0.0094 0.0006 0 PSO-PFA算法 49.85 0.0750 0.0050 0.0095 0.0005 所提算法 10.88 0.0780 0.0020 0.0093 0.0007 –5 PSO-PFA算法 59.64 0.0696 0.0104 0.0082 0.0018 所提算法 11.01 0.0771 0.0029 0.0092 0.0008 –10 PSO-PFA算法 32.75 0.0714 0.0086 0.0083 0.0017 所提算法 12.25 0.0781 0.0019 0.0093 0.0007 为进一步验证所提算法在不同信噪比下的有效性，本文分别在回波信噪比为5 dB, 0 dB, –5 dB, –10 dB的条件下进行成像，分别得到RD算法、PSO-PFA算法和所提算法的成像结果，如图4所示。表2为不同信噪比下各类算法的运算时间、转动参数估计精度对比。理论情况下，目标转动角速度为0.08 rad/s，角加速度为0.01 rad/s2。通过对比各算法可知，在–5 dB和–10 dB条件下，PSO-PFA算法估计的目标转动速度约为0.07 rad/s，转动加速度约为0.008 rad/s2，与理论值相差较大。而在–10 dB的低信噪比下，所提算法估计转动速度为
0.0781 rad/s，转动加速度约为0.0093 rad/s2，相对更加准确。这说明相比PSO-PFA算法，所提算法在低信噪比条件下的成像效果略有提升。这是因为在低信噪比环境下，PSO-PFA算法只迭代到了局部最优值。而所提算法提出了粗估计和精估计的机制，能够快速有效地确定目标迭代的初值，尽可能避免迭代陷入局部最优，且运算时间更少。为进一步衡量点目标的聚焦效果，本节选取–10 dB下的成像结果，对图4标注的散射点进行点目标分析。首先，对点目标进行64倍插值，得到图5所示的结果。可以看出，RD算法成像结果在距离向和方位向都发生了严重的展宽，所提算法和PSO-PFA算法对MTRC进行了有效的补偿。相比PSO-PFA算法，所提算法的聚焦程度相对更好。对图5的点目标进行切片分析，得到图6所示的结果。在图6中，虚线位置为真实点目标所在距离单元。在RD算法成像结果中，成像结果产生了明显的MTRC，散射点峰值位置有2～3个采样点单元的徙动。目标转动速度、转动加速度引起的二次相位，造成RD算法成像结果的主瓣展宽，旁瓣电平升高，导致成像质量下降。与PSO-PFA算法相比，所提算法的主瓣更窄，成像质量更好。
然后，利用积分旁瓣比(Integrated Side Lobe Ratio, ISLR)、峰值旁瓣比(Peak Side Lobe Ratio, PSLR)和冲激响应宽度(Impulse Response Width, IRW)作为分析指标，分析不同算法的性能，其定义如下：
{\mathrm{ISLR}}{ = }10\,{\text{lg}}\left(\frac{{{P_{{\mathrm{total}}}}{ - }{P_{{\mathrm{main}}}}}}{{{P_{{\mathrm{main}}}}}}\right) (39) {\mathrm{PSLR}}{ = }20\,\lg\left(\frac{{{A_{{\mathrm{side}}}}}}{{{A_{{\mathrm{main}}}}}}\right)\qquad (40) 其中，$ {P_{{\mathrm{total}}}} $为信号总功率，$ {P_{{\mathrm{main}}}} $为主瓣功率，$ {A_{{\mathrm{side}}}} $为旁瓣峰值，$ {A_{{\mathrm{main}}}} $为主瓣峰值。IRW指冲激响应的3 dB主瓣宽度。表3为图6点目标的成像结果性能对比。可以看出，在–10 dB环境中，RD算法的主瓣展宽严重，距离向IRW为
2.0172 ，方位向IRW为2.9221 ，说明主瓣发生展宽，成像结果严重恶化，这与图6结果一致。所提算法在距离向的IRW接近于1，PSLR为–13.1223 dB，效果较为理想；在方位向的主瓣有所展宽，IRW变成1.3865 ，这是因为转动参数的估计值与理论值有一定误差。相比PSO-PFA算法，所提算法的IRW相对更接近于1，且方位向ISLR提升1.91 dB。这说明在–10 dB的低信噪比下，所提算法的成像效果相对更加理想，相比PSO-PFA算法略有提升。表 3 点目标成像结果性能对比Table 3. Comparison of imaging results in point方向 算法 ISLR (dB) PSLR (dB) IRW(采样点) 距离向 RD算法 – 12.6383 – 13.3929 2.0172 PSO-PFA算法 – 7.9669 – 13.0756 1.0804 所提算法 – 8.3111 – 13.1223 1.0031 方位向 RD算法 – 16.0624 – 16.2671 2.9232 PSO-PFA算法 – 14.5834 – 16.2696 1.4372 所提算法 – 16.4953 – 16.9167 1.3865 5.2 实测数据成像实验
利用处于下降阶段的民航客机的实测回波数据，为进一步验证算法的有效性。该数据于2017年通过微波光子雷达在北京首都国际机场周围测得[32]。微波光子雷达发射LFM信号，对回波做去斜压缩处理后采样，具体参数如表4所示。
表 4 实测实验参数表Table 4. Experimental parameter table参数 数值 中心频率 14.6 GHz 脉冲宽度 500 μs 带宽 600 MHz 脉冲重复频率 2000 Hz 去斜后距离向采样率 25 MHz 图7所示为RD算法、PSO-PFA算法和所提算法对民航客机的成像结果。由于RD算法未进行转动补偿，目标转动产生的二次相位导致成像结果MTRC非常明显。在图7(a)中，机翼、机身等位置的强散射点在方位向出现了明显的徙动，出现了虚假散射点，不利于后续的图像识别和处理。图7(b)、图7(c)的结果说明，所提算法和PSO-PFA算法均有效地抑制了MTRC，并且成像效果基本一致。进一步分析，针对图7中的成像结果，利用运算时间、图像熵(Image Entropy, IE)和图像对比度(Image Contrast, IC)作为定量评价指标[28]，其定义如下：
{\mathrm{IE}}{ = - }\sum\limits_{m = 1}^{{\mathrm{Na}}} {\sum\limits_{n = 1}^{{\mathrm{Nr}}} {\frac{{{|}z{(}m{,}n{)}{{|}^2}}}{{{{{E_{{z}}}}}}}\ln\left(\frac{{{|}z{(}m{,}n{)}{{|}^2}}}{{{{{E_{{z}}}}}}}\right)} } (41) {\mathrm{IC}}{ = }\frac{{\sqrt {E{\{ [|}z{(}m{,}n{)}{{|}^2}{ - }E{(|}z{(}m{,}n{)}{{|}^2}{)}{{]}^2}{\} }} }}{{E{[|}z{(}m{,}n{)}{{|}^2}{]}}} \quad (42) 其中，$ z{(}m{,}n{)} $为归一化的成像结果。对于同一数据，成像结果的熵越小、图像对比度越大，说明成像效果越好。根据上述定义，各类算法的性能如表5所示。可以看出，所提算法与PSO-PFA算法的图像熵和图像对比度接近，相比RD算法的图像熵更小，图像对比度更大，说明成像效果有明显的提升。同时，在保证成像质量基本一致的情况下，所提算法的运算时间为41.11 s，远小于PSO-PFA算法的296.38 s，说明所提算法在运算效率上有明显的优势。
表 5 实测数据成像结果指标Table 5. Indicators for imaging results based on actual measurement data算法 运算时间(s) 图像熵 图像对比度 RD算法 5.5604 22.3463 PSO-PFA算法 296.38 5.1896 26.7782 所提算法 41.11 5.1950 26.1366 在图7中，分别选取飞机机身与机翼上的强散射点P1, P2, P3，对相应区域进行放大，如图8所示。可以看出，所提算法和PSO-PFA算法明显消除了散射点MTRC造成的徙动和扩散，目标聚焦更加明显。分别沿第35, 54个距离单元进行方位向剖面分析，得到的结果如图9、图10所示。可以明显看出，RD算法成像结果的聚焦效果更差，而所提算法和PSO-PFA算法的聚焦程度更好，成像质量基本一致。
图 8 强散射点P1, P2和P3区域放大示意图Figure 8. Enlarged schematic diagram of strong scattering points P1, P2, and P3对点P3进行64倍插值，进行点目标分析，如图11所示。可以看出RD算法的主瓣展宽、旁瓣电平升高，这与点目标仿真的结果基本一致。所提算法和PSO-PFA算法的成像效果基本一致，对MTRC的校正效果良好。对图11结果进行量化分析，得到表6所示的结果。可以看出，RD算法在距离向和方位向的IRW分别为
1.3516 和1.2609 ，均有所展宽，而所提算法的IRW分别为1.1788 和1.1891 ，均有一定提升。同时，所提算法的ISLR, PSLR也小于RD算法，说明所提算法结果的聚焦程度更好。并且，从表6可知，所提算法PSO-PFA算法效果基本一致。综上所述，仿真与实测数据结果表明，所提算法实现了MTRC的精确补偿，点目标聚焦质量较好。在保证成像质量的前提下，所提算法在计算效率上明显优于PSO-PFA算法。表 6 点P3成像指标Table 6. Comparison of imaging results in point P3方向 算法 ISLR (dB) PSLR (dB) IRW(采样点) 距离向 RD算法 – 12.5781 – 15.7136 1.3516 PSO-PFA算法 – 15.1908 – 18.1396 1.1771 所提算法 – 15.1643 – 18.1401 1.1788 方位向 RD算法 – 8.2897 – 12.5406 1.2609 PSO-PFA算法 – 14.1262 – 15.5056 1.1882 所提算法 – 14.1223 – 15.4902 1.1891 6. 结语
针对空间目标ISAR成像面临的MTRC问题，本文提出了一种基于联合运动参数快速估计的空间目标ISAR成像方法，通过将BFGS优化算法与PFA算法结合，实现了目标MTRC的快速补偿。所提方法建立了目标平动相位误差和转动参数联合估计的最小化图像熵优化模型；为求解所建立模型以及避免基于BFGS的求解算法陷入局部最优，设计了目标参数粗估计和精估计的高效求解子步骤。点目标仿真结果表明，所提算法在较低信噪比下仍有较好的聚焦效果。实测民航客机数据成像结果表明，与PSO-PFA算法相比，在保证成像质量的前提下，本文所提算法能显著提升计算效率。
致谢 本文ISAR实测数据由中国科学院空天信息创新研究院微波成像全国重点实验室提供，并得到了相关研究团队在数据处理与分析方面的大力支持，在此表示感谢。
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图 4 不同信噪比下仿真成像结果对比
Figure 4. Comparison of simulated imaging results under different SNR
图 8 强散射点P1, P2和P3区域放大示意图
Figure 8. Enlarged schematic diagram of strong scattering points P1, P2, and P3
1 BFGS算法伪代码
1. Pseudocode for the BFGS algorithm.
输入：待估计值$ {k_i} $，目标函数$ {H_z}{(}{k_i}{)} $ 初始化：粗估计值$ {k^0_i} $，黑塞矩阵$ {H^0}{ = }{\bf{I}} $，步长$ {\alpha ^j} $，迭代次数$ j = 0 $。 开始迭代： 1. 更新变量： $ k_i^{j + 1}{ = }k_i^j - {\alpha ^j}{H^j}\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^j}} $ (33) $ {x^j}{ = }k_i^{j + 1}{ - }k_i^j $ (34) $ {y^j}{ = }\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^{j + 1}}}{ - }\dfrac{{\partial {H_z}}}{{\partial k_i^j}} $ (35) 2. 更新黑塞矩阵： $ {\rho ^j}{ = }\dfrac{1}{{{{{(}{x^j}{)}}^{\mathrm{T}}}{y^j}}} $ (36) $ {H^{j + 1}}{ = [}{\bf{I}}{ - }{\rho ^j}{y^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}}{{]}^{\mathrm{T}}}{H^j}{[}{\bf{I}}{ - }{\rho ^j}{y^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}}{] + }{\rho ^j}{x^j}{{(}{x^j}{)}^{\mathrm{T}}} $ (37) $ j{ = }j{ + }1 $ (38) 3. 判断是否达到阈值 输出：完成迭代后，输出估计值 
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表 1 仿真参数表
Table 1. Simulation parameter table
仿真参数 数值 中心频率 20 GHz 脉冲宽度 200 μs 带宽 4 GHz 脉冲重复频率 100 Hz 去斜后距离向采样率 20 MHz
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表 2 不同信噪比下各算法运算时间和转动参数估计质量比较
Table 2. Comparison of algorithm calculation time and rotation parameter estimation quality under different SNR
信噪比(dB) 算法 运算时间(s) 转动速度
(rad/s)转动速度估计误差
(rad/s)转动加速度
(rad/s2)转动加速度
估计误差(rad/s2)理论值 0.0800 0.0100 5 PSO-PFA算法 48.09 0.0779 0.0021 0.0096 0.0004 所提算法 10.40 0.0784 0.0016 0.0094 0.0006 0 PSO-PFA算法 49.85 0.0750 0.0050 0.0095 0.0005 所提算法 10.88 0.0780 0.0020 0.0093 0.0007 –5 PSO-PFA算法 59.64 0.0696 0.0104 0.0082 0.0018 所提算法 11.01 0.0771 0.0029 0.0092 0.0008 –10 PSO-PFA算法 32.75 0.0714 0.0086 0.0083 0.0017 所提算法 12.25 0.0781 0.0019 0.0093 0.0007
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表 3 点目标成像结果性能对比
Table 3. Comparison of imaging results in point
方向 算法 ISLR (dB) PSLR (dB) IRW(采样点) 距离向 RD算法 – 12.6383 – 13.3929 2.0172 PSO-PFA算法 – 7.9669 – 13.0756 1.0804 所提算法 – 8.3111 – 13.1223 1.0031 方位向 RD算法 – 16.0624 – 16.2671 2.9232 PSO-PFA算法 – 14.5834 – 16.2696 1.4372 所提算法 – 16.4953 – 16.9167 1.3865
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表 4 实测实验参数表
Table 4. Experimental parameter table
参数 数值 中心频率 14.6 GHz 脉冲宽度 500 μs 带宽 600 MHz 脉冲重复频率 2000 Hz 去斜后距离向采样率 25 MHz
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表 5 实测数据成像结果指标
Table 5. Indicators for imaging results based on actual measurement data
算法 运算时间(s) 图像熵 图像对比度 RD算法 5.5604 22.3463 PSO-PFA算法 296.38 5.1896 26.7782 所提算法 41.11 5.1950 26.1366
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表 6 点P3成像指标
Table 6. Comparison of imaging results in point P3
方向 算法 ISLR (dB) PSLR (dB) IRW(采样点) 距离向 RD算法 – 12.5781 – 15.7136 1.3516 PSO-PFA算法 – 15.1908 – 18.1396 1.1771 所提算法 – 15.1643 – 18.1401 1.1788 方位向 RD算法 – 8.2897 – 12.5406 1.2609 PSO-PFA算法 – 14.1262 – 15.5056 1.1882 所提算法 – 14.1223 – 15.4902 1.1891
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