杂波环境中雷达通信一体化系统波形设计算法研究

吴文俊; 唐波; 汤俊; 胡元奎

doi:10.12000/JR22105

杂波环境中雷达通信一体化系统波形设计算法研究

DOI: 10.12000/JR22105

吴文俊¹,
唐波^1, ,,
汤俊²,
胡元奎³

1.
国防科技大学电子对抗学院合肥 230037
2.
清华大学电子工程系北京 100084
3.
中国电子科技集团公司第三十八研究所合肥 230088

基金项目: 国家自然科学基金(62171450, 61671453)，国家重点研究发展计划(2021YFA1402102)，安徽省杰出青年科学基金(2108085J30)

详细信息

作者简介:
吴文俊(1996-)，男，安徽宣城人，国防科技大学电子对抗学院在读硕士。主要研究方向为雷达信号处理、一体化波形设计

唐　波(1985-)，男，江西临川人， 2011年在清华大学电子工程系获得博士学位，现为国防科技大学电子对抗学院副教授。主要研究方向为雷达信号处理、通信信号处理和阵列信号处理等，目前已发表论文80余篇

汤　俊(1973-)，男，江苏南京人，清华大学电子工程系教授，博士生导师。主要研究方向为雷达信号处理系统技术、自适应阵列信号处理技术和复杂电子信息系统

胡元奎(1979-)，男，河南南阳人，博士。主要研究方向为雷达对抗、综合射频系统

通讯作者:
唐波 tangbo17@nudt.edu.cn

责任主编：崔国龙 Corresponding Editor: CUI Guolong
中图分类号: TN959.1
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出版历程
- 收稿日期: 2022-06-05
- 修回日期: 2022-08-01
- 网络出版日期: 2022-08-22
- 刊出日期: 2022-08-28

Waveform Design for Dual-function Radar-communication Systems in Clutter

WU Wenjun¹,
TANG Bo^{1
, ,},
TANG Jun²,
HU Yuankui³

1.
College of Electronic Engineering, National University of Defense Technology, Hefei 230037, China
2.
Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
3.
No. 38 Research Institute of CETC, Hefei 230088, China

Funds: The National Natural Science Foundation of China (62171450, 61671453), The National Key Research and Development Program (2021YFA1402102), The Anhui Provincial Natural Science Foundation (2108085J30)

More Information

Corresponding author: TANG Bo, tangbo17@nudt.edu.cn

摘要

摘要: 针对杂波环境中雷达通信一体化系统探测性能下降的问题，该文以信干噪比作为设计准则，通过联合优化系统发射波形和接收滤波器来抑制杂波，进而增强目标探测性能。为同时保证系统信息传输的质量，将通信信号的多用户干扰能量纳入约束条件。此外，引入相似性约束使得发射波形具有良好的模糊函数。为求解发射波形和接收滤波器联合优化问题，提出了一种基于循环优化和半正定松弛的迭代算法。理论分析证明了算法的收敛性。仿真结果表明，所设计的波形不仅可以提升系统在杂波环境中的目标探测性能，而且可以高效地实现多用户通信。
- 雷达通信一体化系统 /
- 多输入多输出阵列 /
- 杂波环境 /
- 目标探测 /
- 多用户通信 /
- 半正定松弛
Abstract: To prevent the degradation of the detection performance of Dual-Function Radar-Communication (DFRC) system in the presence of clutter, we propose the joint design of a transmit waveform and receiver filter to suppress the clutter and enhance the target detection performance. We use the Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio (SINR) as the design criterion. Meanwhile, the Multi-User Interference (MUI) energy of the communication signals is constrained to maintain the quality of service for information transmission via DFRC systems. In addition, a similarity constraint is enforced to enable the transmitted waveform to have a good ambiguity function. To tackle the joint optimization problem, we present an iterative algorithm based on cyclic optimization and Semi-Definite Relaxation (SDR). The convergence of the algorithm is proved by a theoretical analysis. The simulation results show that the designed waveform can improve the target detection performance of a DFRC system in clutter and efficiently realize multi-user communication.
- DFRC system /
- Multiple-Input-Multiple-Output (MIMO) array /
- Clutter environment /
- Target detection /
- Multi-user communication /
- Semi-Definite Relaxation (SDR)

HTML全文

1. 引言

随着宽带无线通信和物联网技术的快速发展，通信系统对频谱资源的需求与日俱增。由于频谱资源的稀缺性，频谱环境变得日益拥塞，雷达与邻近通信系统之间极易发生相互干扰，导致二者性能急剧下降。为降低系统之间的互扰，提高频谱资源利用率，亟需研究雷达通信频谱共享技术^[1]。

雷达通信频谱共享技术主要有3种形式^[2]：一是无源探测，也称为外辐射源雷达或机会照射源雷达，是指利用其他射频设备发射的电磁信号对目标进行探测。由于不发射电磁波，因此避免了雷达与通信之间的互扰问题。然而，该方法存在距离分辨率低和波形自相关函数旁瓣电平高等问题^[3-5]；二是频谱共存。在设计雷达发射波形时，通过施加频谱约束，尽量减少雷达信号在通信频段上的泄露。但是该方法未能实现频谱资源共享，频谱的利用率不高^[6-8]；三是雷达通信一体化，即通过一体化设计使得系统既能完成雷达探测又能够实现数据通信。该方法在提高频谱利用率的同时，有效地缩减了天线使用数量，降低了系统的体积、重量、功耗和成本，是该领域的热点研究方向。

现有的雷达通信一体化系统主要体制包括时域分割体制、波束分割体制、波形复用体制等。然而，时域分割体制无法同时实现多功能；波束分割体制存在天线孔径利用率低、天线增益低等问题。波形复用体制是指通过对发射波形的设计来实现雷达感知和数据传输双功能^[9]。传统的波形复用体制很多利用通信信号同时实现雷达探测和数据传输。文献[10]构建了基于正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)信号的雷达通信一体化试验系统，经验证该系统能够以0.3 m的分辨率进行目标探测以及57 Mbit/s的速度进行数据传输；一般采用OFDM信号进行一体化设计时，往往会采用循环前缀来避免多径干扰的影响，但是这种方法会造成能量利用率下降，文献[11]提出了一种利用空白保护间隔代替循环前缀的方法，既有效减少了载波间的相互干扰，又提高了能量利用率。然而，OFDM等通信信号包络不恒定，信号易失真。

多输入多输出(Multiple-Input-Multiple-Output, MIMO)系统是指采用多个通道发射相互独立波形的系统^[12]。目前，MIMO系统已成功应用于雷达探测和数据通信等领域^[13-17]。近年来，一些学者提出了使用MIMO系统实现雷达通信一体化，而发射波形设计是其中的核心问题。文献[18]提出通过波束形成设计，将通信信号用于目标检测，以避免系统一体化对通信速率产生影响。文献[19]提出了一种一体化波形设计算法，该算法通过对波束方向图的精确控制，实现波束主瓣探测目标以及向旁瓣用户传递信息。然而，该算法单位时间内所能传递的信息比特数取决于正交波形的数量，导致系统数据传输速率较低。为更好地匹配既定的方向图实现雷达检测，并实现与多用户通信，文献[20-23]提出一系列的一体化波形设计方法；文献[24]提出了一种在满足波形约束的前提下最大化通信信号接收功率的方法，从而较好地平衡了通信与目标探测的需求。然而，这些方法均需要对权重系数进行选择，而权重系数对系统性能的影响尚待进一步研究。文献[25,26]通过交替投影方法同时实现了雷达探测与信息通信，并在硬件平台上对所设计波形进行了验证。文献[27]所提出的波形设计方法，不仅能够对通信方向上发射信号频谱赋形实现数据通信，而且可以优化系统发射波束方向图来增强探测性能。

为提高雷达通信一体化系统在杂波环境中的检测性能，本文通过联合设计系统发射波形与接收滤波器，来提高系统的输出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio, SINR)。为保证通信系统数据传输速率，本文将多用户干扰(Muti-User Interference, MUI)能量作为联合设计的约束条件。另外，为使得波形具备较好的模糊函数，引入波形相似性约束^[28]。本文提出采用基于循环优化和半正定松弛(Semi-Definite Relaxation, SDR)的嵌套优化算法对联合优化问题进行求解。仿真结果验证了算法的可行性。

文中A表示矩阵；a表示向量；a表示变量；I表示单位矩阵，下标表示矩阵维数；(·)^T, (·)^*, (·)^H分别表示转置、共轭、共轭转置； ${\mathbb{C}}$ 表示复数域； $\mathbb{E}$ (·)表示数学期望；|·|, ||·||₂, ||·||_F分别表示绝对值、向量的Euclidian范数、矩阵的Frobenius范数；vec(·)表示对矩阵进行拉直；A $\otimes$ B表示矩阵A和矩阵B的Kronecker积；A $\succ$ 0( $\succcurlyeq$ 0)表示A为正定矩阵(半正定矩阵)。

2. 信号模型与问题描述

考虑基于MIMO阵列的雷达通信一体化系统，如图1所示。该系统包括N_T个发射天线和N_R个接收天线，工作场景中包含M个通信用户。系统在检测目标时，会受到K个杂波块的干扰。为了联合优化发射波形与接收滤波器，同时实现目标探测和数据通信，建立信号模型如下。

图 1 基于MIMO阵列的雷达通信一体化系统

Figure 1. Dual-function radar communication system based on MIMO array

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2.1 通信模型

M个通信用户接收到的信号为

${\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{CX}} + {\boldsymbol{N}}$

(1)

其中，C = [c₁, c₂, ···, c_M]^T∈ ${\mathbb{C}^{M \times {N_{\text{T}}}}}$ 为通信信道矩阵，c_m为一体化系统与第m(m = 1, 2, ···, M)个用户之间的信道向量；X = [x₁, x₂, ···, ${{\boldsymbol{x}}_{{N_{\text{T}}}}}]^{\rm{T}} \in {\mathbb{C}^{{N_{\text{T}}} \times L}}$ 为发射信号矩阵，x_n为第n(n= 1, 2, ···, N_T)个发射天线发射的波形编码序列，序列长度为L；N∈ ${\mathbb{C}^{M \times L}}$ 为M个通信用户的接收机噪声矩阵(为简单起见，假设为高斯白噪声)。

假设雷达通信一体化系统期望向第m个通信用户发送的信号为s_m∈ ${\mathbb{C}^{L \times 1}}$ 。记S = [s₁, s₂, ···, s_M]^T $\in$ ${\mathbb{C}^{M \times L}}$ ，则式(1)也可以表示为

${\boldsymbol{Y}}={\boldsymbol{S}}+\underset{多用户干扰}{\underbrace{{\boldsymbol{CX}}-{\boldsymbol{S}}}}+{\boldsymbol{N}}$

(2)

其中，CX – S为多用户干扰矩阵。

根据文献[23]，通信用户可达的和速率 $\ell$ 定义为

$\ell = \sum\limits_{m = 1}^M {{\xi _m}} = \sum\limits_{m = 1}^M {{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {1 + {\text{SIN}}{{\text{R}}_m}_{,{\text{c}}}} \right)}$

(3)

其中， ${\xi _m}$ 为第m个通信用户可达的数据传输速率，SINR_m,c为第m个通信用户接收信号的信干噪比(下标c表示通信)，定义为

${\text{SIN}}{{\text{R}}_m}_{,{\text{c}}} = \frac{{\mathbb{E}\{ |{s_{m,l}}{|^2}\} }}{{\mathbb{E}\{ |{\boldsymbol{c}}_m^{\text{T}}{{\boldsymbol{x}}_l} - {s_{m,l}}{|^2}\} + \sigma _{z,m}^2}}$

(4)

s_m,l和 $\sigma _{z,m}^2$ 分别为第m个通信用户期望接收到的第l(l = 1, 2, ···, L)个码元和接收噪声功率，s_m,l是s_m第l个元素，s_m = [s_m,1, ···, s_m,l, ···, s_m,L]^T。可以看出 ${\boldsymbol{c}}_m^{\text{T}}$ x_l – s_m,l为多用户干扰矩阵的第(m, l )个元素。因此，要使得系统可达的和速率 $\ell$ 最大，就必须最小化多用户干扰能量，此处多用户干扰能量定义为

$\psi ({\boldsymbol{x}}) = ||{\boldsymbol{CX}} - {\boldsymbol{S}}||_{\text{F}}^2 = \bigr\|{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}} - {\boldsymbol{s}}\bigr\|_2^2$

(5)

其中， ${ {\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} }}$ = I_L $\otimes$ C, x = vec(X), s = vec(S)。

2.2 探测模型

假设目标在θ₀方向，第k个杂波块在θ_k方向(θ_k ≠ θ₀, k = 1, 2, ···, K)。系统接收信号在第l(l = 1, 2, ···, L)个快时间的采样可以表示为

${{\boldsymbol{y}}_l} = {\alpha _0}{{\boldsymbol{a}}_{\text{R}}}({\theta _0}){\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^{\text{T}}({\theta _0}){{\boldsymbol{x}}_l} + \sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}{{\boldsymbol{a}}_{\text{R}}}({\theta _k}){\boldsymbol{a}}_{\rm{T}}^{\text{T}}({\theta _k}){{\boldsymbol{x}}_l}} + {{\boldsymbol{n}}_l}$

(6)

其中，α₀为目标回波幅度，α₁, α₂, ···, α_K为K个杂波块的幅度；x_l = [x₁(l), x₂(l), ···, ${x_{{N_{\text{T}}}}}(l)$ ]^T, x_n(l)为第n(n= 1, 2, ···, N_T)个发射天线发射的第l个码元；n_l为接收机白噪声，方差为 $\sigma _{\text{n}}^2$ ；a_T(θ)和a_R(θ)分别为θ方向的发射和接收导引矢量。若系统的发射和接收阵列均为线性均匀阵列，则

$\begin{gathered} {{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}}(\theta ) = {\bigr[1\;\;{{\text{e}}^{ - {\text{j}}2\pi \sin (\theta ){d_{\text{T}}}/\lambda }}\;\; \cdots \;\;{{\text{e}}^{ - {\text{j}}2\pi ({N_{\text{T}}} - 1)\sin (\theta ){d_{\text{T}}}/\lambda }}\bigr]^{\text{T}}}, \\ {{\boldsymbol{a}}_{\text{R}}}(\theta ) = {\bigr[1\;\;{{\text{e}}^{ - {\text{j}}2\pi \sin (\theta ){d_{\text{R}}}/\lambda }}\;\; \cdots \;\;{{\text{e}}^{ - {\text{j}}2\pi ({N_{\text{R}}} - 1)\sin (\theta ){d_{\text{R}}}/\lambda }}\bigr]^{\text{T}}} \\ \end{gathered}$

(7)

其中，d_T和d_R分别为发射和接收阵列的阵元间距， $\lambda$ 为发射信号波长。

令y = [ ${\boldsymbol{y}}_1^{\text{T}}$ , ${\boldsymbol{y}}_2^{\text{T}}$ , ···, ${\boldsymbol{y}}_L^{\text{T}}$ ]^T，可得

${\boldsymbol{y}} = {\alpha _0}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}} + \sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}} + {\boldsymbol{n}}$

(8)

其中，A(θ) = I_L $\otimes\left({\boldsymbol{a}}_{\rm{R}}(\theta){\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^{\text{T}} (\theta)\right)$ , x = [ ${\boldsymbol{x}}_1^{\text{T}}$ , ${\boldsymbol{x}}_2^{\text{T}}$ , ···, ${\boldsymbol{x}}_L^{\text{T}}$ ]^T, n = [ ${\boldsymbol{n}}_1^{\text{T}}$ , ${\boldsymbol{n}}_2^{\text{T}}$ , ···, ${\boldsymbol{n}}_L^{\text{T}}$ ]^T。

为抑制干扰信号，提高目标检测性能，对阵列接收信号y进行滤波。将滤波器记为w，则滤波器的输出z_out可以表示为

$\begin{split} {z_{{\text{out}}}} = & {{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{y}} \\ =& \underset{目标}{\underbrace{{\alpha }_{0}{{\boldsymbol{w}}}^{\text{H}}{\boldsymbol{A}}({\theta }_{0}){\boldsymbol{x}}}}+\underset{干扰}{\underbrace{{{\boldsymbol{w}}}^{\text{H}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{K}{\alpha }_{k}{\boldsymbol{A}}({\theta }_{k}){\boldsymbol{x}}}}}+\underset{噪声}{\underbrace{{{\boldsymbol{w}}}^{\text{H}}{\boldsymbol{n}}}} \end{split}$

(9)

根据式(9)，滤波器输出信干噪比(下标r表示雷达)为

$\begin{split} &{\text{SIN}}{{\text{R}}_{\text{r}}}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{w}}) \\ & = \frac{{|{\alpha _0}{|^2}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}{|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}\left[\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _k^2{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _k})} \right]{\boldsymbol{w}}{\text{ + }}\sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{w}}}}\\ \end{split}$

(10)

其中，假设K个杂波块相互独立， $\sigma _k^2$ = $\mathbb{E}$ {|α_k|²}为第k个杂波块的平均功率(k = 1, 2, ···, K)。

2.3 雷达通信一体化系统波形优化问题建模

为提高雷达通信一体化系统在杂波环境中的检测性能，同时使系统具备与多用户通信的能力，构造发射波形与接收滤波器联合优化问题如下：

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{w}}} \;{\text{SIN}}{{\text{R}}_{\text{r}}}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{w}}) \\ & \;{\text{s}}.{\text{t}}.\;\psi ({\boldsymbol{x}}) \le \beta , \;\; {\boldsymbol{x}} \in \mathcal{X} \end{split}$

(11)

其中，β为系统允许的最大多用户干扰能量，可以通过调节β的大小对系统数据传输的和速率进行控制； $\mathcal{X}$ 为波形约束集合。考虑到发射波形的能量有限，故对发射波形施加总能量约束，即

$||{\boldsymbol{x}}||_{\text{2}}^{\text{2}} = {e_{\text{T}}}$

(12)

其中， ${e_{\text{T}}}$ 为总发射能量。

当仅对发射波形施加能量约束时，可能会使得所设计的发射波形自相关函数旁瓣电平较高、模糊函数特性较差以及包络起伏较大，故考虑在能量约束的基础上再对发射波形施加相似性约束，此处相似约束可以表示为

${\text{||}}{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\text{0}}}{\text{||}}_2^2 \le \delta$

(13)

其中，x₀为参考波形，其能量与发射波形总能量相等，且波形自相关函数峰值旁瓣电平较低，具有良好的距离分辨率和模糊函数等特性，δ为相似性系数(一般来说，相似性系数的取值范围为0 ≤ δ ≤ 2e_T^[29,30])。

结合式(5)、式(10)和式(12)，雷达通信一体化系统发射波形和接收滤波器联合优化问题可以表示为

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{w}}} \;\frac{{|{\alpha _0}{|^2}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}{|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}\left[\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _k^2{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _k})} \right]{\boldsymbol{w}}{\text{ + }}\sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{w}}}} \\ & \;{\text{s}}.{\text{t}}.\;\bigr\|{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}} - {\boldsymbol{s}}\bigr\|_2^2 \le \beta , \\ & \;\;\;\;\;\;\;||{\boldsymbol{x}}||_{\text{2}}^{\text{2}} = {e_{\text{T}}}, \\ & \;\;\;\;\;\;\;{\text{||}}{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\text{0}}}{\text{||}}_2^2 \le \delta \\[-10pt] \end{split}$

(14)

3. 联合优化算法设计

优化问题(14)是二次约束分式规划问题，本文采用循环优化算法进行求解，其中在第n+1次迭代中，先固定x⁽ⁿ⁾，对w⁽ⁿ⁺¹⁾进行优化；然后固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，对x⁽ⁿ⁺¹⁾进行优化。下面分别对这两个优化问题进行求解，为使推导过程简洁明了，在不引起歧义的情况下，省略上标。

3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾

当x⁽ⁿ⁾固定时，优化问题(14)为

$\mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{w}} \;\frac{{|{\alpha _0}{|^2}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}{|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}\left[\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _k^2{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _k})} \right]{\boldsymbol{w}}{\text{ + }}\sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{w}}}}$

(15)

优化问题(15)的解为

${\boldsymbol{w}} = \gamma {\boldsymbol{R}}_x^{ - 1}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}$

(16)

其中，γ是一个常数，且γ ≠ 0，

${{\boldsymbol{R}}_x} = \sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _k^2{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _k})} + \sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{I}}_{L{N_{\text{R}}}}}$

(17)

3.2 固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，优化x⁽ⁿ⁺¹⁾

令

${{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}_0} = {{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _0}){\boldsymbol{w}}{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0})$

(18)

${\tilde{{\boldsymbol{M}}}}_{w}={\displaystyle \sum _{k=1}^{K}{\sigma }_{k}^{2}{{\boldsymbol{A}}}^{\text{H}}({\theta }_{k}){\boldsymbol{w}}{{\boldsymbol{w}}}^{\text{H}}{\boldsymbol{A}}({\theta }_{k})}+{\sigma }_{\text{n}}^{2}{{\boldsymbol{w}}}^{\text{H}}{\boldsymbol{w}}/{e}_{\text{T}}\cdot {{\boldsymbol{I}}}_{L{N}_{\text{T}}}$

(19)

当w^{(n +1)}固定时，波形优化问题可以表示为

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{x}} \;\frac{{{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}}_0}{\boldsymbol{x}}}}{{{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}}_w}{\boldsymbol{x}}}} \\ &\;{\text{s}}.{\text{t}}.\;\bigr\|{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}} - {\boldsymbol{s}}\bigr\|_2^2 \le \beta ,\;\;\bigr\|{\boldsymbol{x}}\bigr\|_{\text{2}}^{\text{2}} = {e_{\text{T}}}, \\ &\;\;\;\;\;\;\;\left\|{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_{\text{0}}}\right\|_2^2 \le \delta \end{split}$

(20)

引入变量t $\in \mathbb{R}$ ，其中t² = 1。定义

$\begin{split} & {{\boldsymbol{M}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}}_0}}&{{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times 1}}} \\ {{{{ {\textit{0}}}}_{1 \times L{N_{\text{T}}}}}}&0 \end{array}} \right],\\ & {{\boldsymbol{M}}_w} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}}_w}}&{{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times 1}}} \\ {{{{ {\textit{0}}}}_{1 \times L{N_{\text{T}}}}}}&0 \end{array}} \right], \\ & {{\boldsymbol{E}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times L{N_{\rm{T}}}}}}&{{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times 1}}} \\ {{{{ {\textit{0}}}}_{1 \times L{N_{\text{T}}}}}}&1 \end{array}} \right],\\ & {{\boldsymbol{E}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_{L{N_{\text{T}}}}}}&{{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times 1}}} \\ {{{{ {\textit{0}}}}_{1 \times L{N_{\text{T}}}}}}&0 \end{array}} \right] \\ & {{{{\tilde {\boldsymbol{C}}}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{\stackrel \frown{C} }}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{\stackrel \frown{C} }}}&{ - {{{\boldsymbol{\stackrel \frown{C} }}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{s}}} \\ { - {{\boldsymbol{s}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{\stackrel \frown{C} }}}&{{{\boldsymbol{s}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{s}}} \end{array}} \right],\\ & {{\boldsymbol{E}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_{L{N_{\text{T}}}}}}&{ - {{\boldsymbol{x}}_0}} \\ { - {\boldsymbol{x}}_0^{\text{H}}}&{{\boldsymbol{x}}_0^{\text{H}}{{\boldsymbol{x}}_0}} \end{array}} \right],\;{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{x}} \\ t \end{array}} \right] \end{split}$

(21)

优化问题(20)等价表示为

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}} \;\frac{{{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{M}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}}{{{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{M}}_w}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}} \\ & \;\;\;{\text{s}}.{\text{t}}.\;{{{\boldsymbol{\tilde x}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}{\text{ = 1,}}\;\;{{{\boldsymbol{\tilde x}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_1}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}{\text{ = }}{e_{\text{T}}}, \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\; {{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_2}{{\tilde {\boldsymbol{x}}}} \le \delta ,\;\;{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{\text{H}}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}\tilde {\boldsymbol{x}}}} \le \beta \end{split}$

(22)

当t = 1时，优化问题(20)与式(22)的最优解相同；当t = –1时，优化问题(20)与式(22)的最优解互为相反数。故通过求解优化问题(22)即可得到优化问题(20)的最优解。由于式(22)中的等式约束不是凸集，所以优化问题(22)是一个非凸优化问题。

为求解优化问题(22)，令 ${{\tilde {\boldsymbol{X}}}} = {{\tilde {\boldsymbol{x}}}}{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{\text{H}}}$ ，优化问题(22)亦等价为

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}} \;\frac{{{\text{tr}}\left({{\boldsymbol{M}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}\right)}}{{{\text{tr}}\left({{\boldsymbol{M}}_w}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}\right)}} \\ &\;\;\;{\text{s}}.{\text{t}}.\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} = 1,\;\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_1}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} = {e_{\text{T}}},\;\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_2}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} \le \delta , \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\text{tr(}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} \le \beta ,\;\;{\text{rank(}}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} = 1 \\[-10pt] \end{split}$

(23)

将式(23)进行松弛(即去除秩一约束)，同时进行Charnes-Cooper变换^[29]，得到：

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }} \succcurlyeq {{ {\textit{0}}}},b \ge 0} \;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{M}}_0}{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}{\text{)}} \\ & \;\;\;{\text{s}}.{\text{t}}.\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{M}}_w}{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}{\text{) = 1,}}\;\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_0}{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}{\text{)}} = b,\;\;{\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_1}{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}{\text{)}} = b{e_{\text{T}}}, \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\; {\text{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_2}{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}{\text{)}} \le b\delta ,\;\;{\text{tr(}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}\stackrel \frown{{\boldsymbol{X}}} }}{\text{)}} \le b\beta \\[-10pt] \end{split}$

(24)

式(24)是标准的半正定规划问题(Semi-Definite Programming, SDP)，可得到其全局最优解。假设式(24)最优解为 $\{ {b^{{\text{opt}}}},{{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{X}}} }}^{{\text{opt}}}}\}$ ，最优值为 ${\upsilon ^{{\text{opt}}}}$ ，则松弛问题(24)的最优解为

${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{ = }}{{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{X}}} }}^{{\text{opt}}}}{\text{/}}{b^{{\text{opt}}}}$

(25)

由 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 经过矩阵秩一分解得到式(22)的最优解。首先，

$\begin{split} \frac{{{\text{tr}}\bigr({{\boldsymbol{M}}_0}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}\bigr)}}{{{\text{tr}}\bigr({{\boldsymbol{M}}_w}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}\bigr)}} & = \frac{{{\text{tr}}\bigr({{\boldsymbol{M}}_0}{{{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}}^{{\text{opt}}}}{\text{/}}{b^{{\text{opt}}}}\bigr)}}{{{\text{tr}}\bigr({{\boldsymbol{M}}_w}{{{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}}^{{\text{opt}}}}{\text{/}}{b^{{\text{opt}}}}\bigr)}} = {\text{tr}}\bigr({{\boldsymbol{M}}_0}{{{\stackrel \frown{\boldsymbol X} }}^{{\text{opt}}}}\bigr) \\ & = {\upsilon ^{{\text{opt}}}} \\[-10pt] \end{split}$

(26)

由式(26)可得

${\text{tr}}\bigr(({{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w}){{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}\bigr) = 0$

(27)

接着构造如下凸优化问题：

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}\succcurlyeq{{ {\textit{0}}}},b \ge 0} \;{\rm{tr((}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\rm{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w}){{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\rm{)}}\\ & \;\;\;{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;{\rm{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\rm{)}} = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\, ({\rm{a}})\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\; {\rm{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_1}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\rm{)}} = {e_{\rm{T}}}\;\;\;\;\;\;\, ({\rm{b}})\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\; {\rm{tr(}}{{\boldsymbol{E}}_2}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\rm{)}} \le \delta \;\;\;\;\;\;\;\;\, ({\rm{c}})\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\; {\rm{tr(}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\rm{)}} \le \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ({\rm{d}}) \end{split}$

(28)

因为 ${\text{tr(}}{{\boldsymbol{M}}_0}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{\text{tr(}}{{\boldsymbol{M}}_w}{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}{\text{)}} \le 0$ ，故 ${{\boldsymbol{\tilde X}}^{{\text{opt}}}}$ 也为式(28)的最优解。

凸优化问题(28)的对偶问题为

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{{y_1},{y_2},{y_3},{y_4}} \;{y_1} + {e_{\rm{T}}}{y_2} + \delta {y_3} + \beta {y_4}\\ & \;{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;{y_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {y_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {y_3}{{\boldsymbol{E}}_2} + {y_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}}\ge {\rm{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\rm{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})\\ & \;\;\;\;\;\;\;{y_1} \in \Re ,{y_2} \in \Re ,{y_3} \le 0,{y_4} \le 0 \\[-10pt] \end{split}$

(29)

其中，y₁, y₂, y₃, y₄分别为式(28)中4个约束条件(a), (b), (c), (d)的对偶变量^[31]。设对偶问题(29)的最优解为 $({\tilde y_1},{\tilde y_2},{\tilde y_3},{\tilde y_4})$ ，则原始-对偶最优解对为 $({{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}, {\tilde y_1},{\tilde y_2},{\tilde y_3},{\tilde y_4})$ 满足KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，并且满足互补松弛条件：

$\begin{split} & {\text{tr}}\{ [{{\tilde y}_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {{\tilde y}_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {{\tilde y}_3}{{\boldsymbol{E}}_2}{\text{ + }}{{\tilde y}_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} \\ & \quad - {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})]{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}\} = 0\;\;\;\;\;({\rm{a}}) \\ & {\text{[tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_2}) - \delta ]{{\tilde y}_3} = 0\;\;\;\;\;\qquad\qquad ({\rm{b}}) \\ & {\text{[tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}}) - \beta ]{{\tilde y}_4} = 0\;\;\;\;\;\,\,\qquad\qquad ({\rm{c}}) \end{split}$

(30)

下面针对 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 的秩分情况进行讨论：

(1) ${\text{rank(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}) = 1$ ，可以取 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 的第1列并归一化得到 ${{\boldsymbol{\tilde x}}^{{\text{opt}}}}$ ；

(2) ${\text{rank(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}) \ge 3$ ，对于任意 ${\boldsymbol{Y}} \succcurlyeq {{ {\textit{0}}}}$ 且 ${\text{tr(}}{\boldsymbol{Y}}{\text{)}} \ne {\text{0}}$ ， $({\text{tr(}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_0}{\text{)}},{\text{tr(}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_1}{\text{)}},{\text{tr(}}{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{E}}_2}{\text{)}},{\text{tr(}}{{{\boldsymbol{Y}}\tilde {\boldsymbol{C}}}}{\text{)}}) \ne (0,0,0,0)$ 恒成立。故只要 ${\text{tr(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{)}} \ne {\text{0}}$ ，根据文献[32]中的定理2.3，必然存在一种分解方法(记为 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}} = {D_1}({{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}},{{\boldsymbol{E}}_0},{{\boldsymbol{E}}_1},{{\boldsymbol{E}}_2},{{\tilde {\boldsymbol{C}}}})$ )，使得式(31)成立：

$\begin{split} & {\text{tr}}[{{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_0}] = {\text{tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_0}{\text{)}} = 1, \\ & {\text{tr}}[{{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_1}] = {\text{tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_1}{\text{)}} = {e_{\text{T}}}, \\ & {\text{tr}}[{{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_2}] = {\text{tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_2}{\text{)}} \le \delta , \\ &{\text{tr}}[{{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\tilde {\boldsymbol C}}}] = {\text{tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\tilde {\boldsymbol C}}}{\text{)}} \le \beta , \\ &{{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}} \succcurlyeq {{ {\textit{0}}}} \end{split}$

(31)

且 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}} \in {\text{range(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{)}}$ 。故 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}_1} = {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}$ 是凸优化问题(28)的可行解，下面证明 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}_1} = {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}$ 满足互补松弛条件。令 ${\boldsymbol{H}} = {\tilde y_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {\tilde y_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {\tilde y_3}{{\boldsymbol{E}}_2} + {\tilde y_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} - {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})$ ，因为

${\tilde y_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {\tilde y_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {\tilde y_3}{{\boldsymbol{E}}_2} + {\tilde y_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} \succcurlyeq {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})$

(32)

所以 ${\boldsymbol{H}} \succcurlyeq { {\textit{0}}}$ 。由式(30)中(a)得

${\text{tr(}}{\boldsymbol{H}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{) = 0}}$

(33)

由于 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}} \succcurlyeq { {\textit{0}}}$ ，故 ${\boldsymbol{H}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{ = }}{ {\textit{0}}}$ 成立，即

$[{\tilde y_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {\tilde y_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {\tilde y_3}{{\boldsymbol{E}}_2} + {\tilde y_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} - {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})]{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}} = {{ {\textit{0}}}}$

(34)

因为 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}} \in {\text{range(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{\text{)}}$ ，所以 ${{\boldsymbol{\tilde x}}^{{\text{opt}}}}$ 可以表示为 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}} = {{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}{{\bar {\boldsymbol{x}}}}$ 。利用式(34)，不难得出：

$\begin{split} & {({{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}[{{\tilde y}_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {{\tilde y}_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {{\tilde y}_3}{{\boldsymbol{E}}_2}{\text{ + }}{{\tilde y}_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} \\ & \quad - {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})]{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}} = 0 \\ & \Rightarrow {\text{tr}}\bigr\{ [{{\tilde y}_1}{{\boldsymbol{E}}_0} + {{\tilde y}_2}{{\boldsymbol{E}}_1} + {{\tilde y}_3}{{\boldsymbol{E}}_2}{\text{ + }}{{\tilde y}_4}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} \\ & \quad - {\text{(}}{{\boldsymbol{M}}_0} - {\upsilon ^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{M}}_w})]{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}\bigr\} {\text{ = 0}} \end{split}$

(35)

另外，

$\begin{split} & {\text{\{tr[}}{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\boldsymbol{E}}_2}] - \delta \} {{\tilde y}_3} = {\text{[tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_2}) - \delta ]{{\tilde y}_3} = 0 \\ & {\text{\{tr[}}{{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}}] - \delta \} {{\tilde y}_4} = {\text{[tr(}}{{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}}^{{\text{opt}}}}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}}) - \delta ]{{\tilde y}_4} = 0 \end{split}$

(36)

所以 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}_1} = {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}$ 满足互补松弛条件，故 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}_1} = {{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}{({{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}$ 是凸优化问题(28)的最优解， ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}$ 为式(22)的最优解。

(3) 当 ${\text{rank(}}{{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}) = 2$ 时，如果 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 使得凸优化问题(28)中至少一个不等式约束严格成立(在数值计算时，考虑到数值精度的问题，可以认为该条件成立)，此时根据文献[32]中的定理2.3，存在一种分解方法(将其记为 ${{{\stackrel \frown {{\boldsymbol{x}}} }}^{{\text{opt}}}} = {D_2}({{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}},{{\boldsymbol{E}}_0},{{\boldsymbol{E}}_1},{{\boldsymbol{E}}_2},{{\tilde {\boldsymbol{C}}}})$ )，使得 ${{{\stackrel \frown {{\boldsymbol{x}}} }}^{{\text{opt}}}}{({{{\stackrel \frown {{\boldsymbol{x}}} }}^{{\text{opt}}}})^{\text{H}}}$ 是凸优化问题(28)的可行解。类似地，可以验证得到， ${{{\stackrel \frown {{\boldsymbol{x}}} }}^{{\text{opt}}}}$ 为式(22)的最优解。总结分解过程如图2所示。

图 2

${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 的分解方法

Figure 2. The decomposition of

${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$

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由式(22)的最优解 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}$ ，可以得到优化问题(20)的最优解 ${{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}}$ 为

${{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}}{\text{ = }}{t^{{\text{opt}}}}{{\boldsymbol{E}}_3}{{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}$

(37)

其中， ${t^{{\text{opt}}}}$ 为 ${{{\tilde {\boldsymbol{x}}}}^{{\text{opt}}}}$ 的最后一个元素，

${{\boldsymbol{E}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_{L{N_{\text{T}}}}}}&{{{{ {\textit{0}}}}_{L{N_{\text{T}}} \times 1}}} \end{array}} \right]$

(38)

3.3 算法总结及复杂度分析

联合优化算法的流程图如图3所示，其迭代停止的条件为

图 3 联合优化算法流程图

Figure 3. Flow chart of the joint optimization algorithm

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$\frac{{|{\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n)} - {\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n - 1)}|}}{{{\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n - 1)}}} < \vartheta$

(39)

其中， $\vartheta$ 为停止迭代的阈值，本文中设置为10^–4。

根据算法的计算步骤，可得

$\begin{split} {\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n)}\bigr({{\boldsymbol{x}}^{(n)}},{{\boldsymbol{w}}^{(n)}}\bigr) =& \frac{{\bigr|{{\bigr({{\boldsymbol{w}}^{(n)}}\bigr)}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){{\boldsymbol{x}}^{(n)}}{\bigr|^2}}}{{{{\bigr({{\boldsymbol{w}}^{(n)}}\bigr)}^{\text{H}}}{\boldsymbol{R}}_x^{(n)}{{\boldsymbol{w}}^{(n)}}}} \\ \mathop \le \limits^{\rm{a}} & \frac{{\bigr|{{\bigr({{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}\bigr)}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){{\boldsymbol{x}}^{(n)}}{\bigr|^2}}}{{{{\bigr({{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}\bigr)}^{\text{H}}}{\boldsymbol{R}}_x^{(n)}{{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}}} \\ =& \frac{{{{\bigr({{\boldsymbol{x}}^{(n)}}\bigr)}^{\text{H}}}{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}_0^{(n + 1)}{{\boldsymbol{x}}^{(n)}}}}{{{{\bigr({{\boldsymbol{x}}^{(n)}}\bigr)}^{\text{H}}}{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}_w^{(n + 1)}{{\boldsymbol{x}}^{(n)}}}}\\ =& {\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n)}\bigr({{\boldsymbol{x}}^{(n)}},{{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}\bigr) \\ \mathop \le \limits^{\rm{b}} & \frac{{{{\bigr({{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}\bigr)}^{(n + 1)}}{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}_0^{(n + 1)}{{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}}}}{{{{\bigr({{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}\bigr)}^{(n + 1)}}{{\tilde {\boldsymbol{M}}}}_w^{(n + 1)}{{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}}}} \\ = & {\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n + 1)}\bigr({{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}},{{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}\bigr) \end{split}$

(40)

其中， ${{\boldsymbol{R}}_x}$ , ${{{\tilde {\boldsymbol M}}}_0}$ , ${{{\tilde {\boldsymbol M}}}_w}$ 的表达式见式(17)、式(18)和式(19)；式(40)中不等式(a)成立的原因：将 ${{\boldsymbol{x}}^{(n)}}$ 固定优化w， ${{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}$ 是式(15)的最优解，其对应的SINR_r必然不低于 ${{\boldsymbol{w}}^{(n)}}$ 所对应的SINR_r；式(40)中不等式(b)成立的原因：将 ${{\boldsymbol{w}}^{(n + 1)}}$ 固定优化x， ${{\boldsymbol{x}}^{(n + 1)}}$ 是式(20)的最优解，其对应的SINR_r必然不低于 ${{\boldsymbol{x}}^{(n)}}$ 所对应的SINR_r。综上， ${\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n)} \le {\text{SINR}}_{\text{r}}^{(n + 1)}$ ，即算法迭代过程中SINR_r是非降的。同时，可得

$\begin{split} & \frac{{|{\alpha _0}{|^2}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}{|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}\left[\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\sigma _k^2{\boldsymbol{A}}({\theta _k}){\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _k})} \right]{\boldsymbol{w}}{\text{ + }}\sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{w}}}}\\ & \quad\le \frac{{|{\alpha _0}{|^2}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}{|^2}}}{{\sigma _{\text{n}}^2{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{w}}}} \\ & \quad\le \frac{{|{\alpha _0}{|^2}{{\boldsymbol{x}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _0}){\boldsymbol{A}}({\theta _0}){\boldsymbol{x}}}}{{\sigma _{\text{n}}^2}} \\ & \quad\le \frac{{|{\alpha _0}{|^2}||{\boldsymbol{x}}||_2^2{\lambda _{\max }}\left({{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}({\theta _0}){\boldsymbol{A}}({\theta _0})\right)}}{{\sigma _{\text{n}}^2}} \\ & \quad = \frac{{|{\alpha _0}{|^2}{e_{\text{T}}}{\lambda _{\max }}\left({{\boldsymbol{I}}_L} \otimes ({\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^*{\boldsymbol{a}}_{\text{R}}^{\text{H}}{{\boldsymbol{a}}_{\text{R}}}{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^{\text{T}})\right)}}{{\sigma _{\text{n}}^2}} \\ & \quad= \frac{{|{\alpha _0}{|^2}{e_{\text{T}}}{N_{\text{R}}}{\lambda _{\max }}({\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^*{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^{\text{T}})}}{{\sigma _{\text{n}}^2}} \\ & \quad = \frac{{|{\alpha _0}{|^2}{e_{\text{T}}}{N_{\text{R}}}{N_{\text{T}}}}}{{\sigma _{\text{n}}^2}} \end{split}$

(41)

其中，第2个不等式运用了柯西-施瓦茨不等式，故SINR_r的上界为 $|{\alpha _0}{|^2}{N_{\text{T}}}{N_{\text{R}}}{e_{\text{T}}}/\sigma _{\text{n}}^2$ 。综上，算法必然收敛。

下面进行算法复杂度分析。算法的计算复杂度是循环次数的线性函数。在每一次循环过程中，算法需要依次更新w和x，其中更新w需要对 ${{\boldsymbol{R}}_x}$ 求逆，该运算的复杂度为O((LN_R)³)；在更新x时，求解SDP问题(24)的复杂度为O((LN_T)^4.5)，对矩阵 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 进行分解的复杂度为O((LN_T)³)。故本文所提出的联合优化算法总的计算复杂度约为 $O\left( N_{\rm{iter}}((LN_{\rm{R}})^3+ (LN_{\rm{T}})^{4.5}) \right)$ ，其中N_iter为总的迭代次数。

4. 仿真实验

本节通过数值实验验证所提算法的性能。

实验1：雷达通信一体化系统的发射天线数为N_T = 16，接收天线数为N_R = 8，发射和接收天线阵列为线性均匀阵，阵元间距为半波长。目标方向为θ₀ = 30°，目标回波功率为|α₀|² = 0 dB；假设环境中存在14个杂波块，其中3个为点杂波块，角度分别为{–10°, 10°, 60°}；其余11个杂波块密集地分布在–40°~ –30°方向，角度间隔为1°。各个方向上杂波功率相同，为30 dB。噪声功率为 $\sigma _{\text{n}}^2$ = 0 dB。总的发射能量为e_T = 20，所设计波形码长为L = 10。采用平坦衰落模型对通信信道进行建模，即矩阵C的各个元素独立同分布，均服从均值为0、方差为1的高斯分布，系统允许的最大多用户干扰能量为β = 10^–3。参考波形x₀为线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号，即

${{\boldsymbol{x}}_0}{\text{ = }}\sqrt {{e_{\text{T}}}/(L{N_{\text{T}}})} {{\text{e}}^{{\text{j}}\pi {{(n - 1)}^2}/(L{N_{\text{T}}})}},n = 1,2,\cdots,L{N_{\text{T}}}$

(42)

算法迭代停止条件 $\vartheta$ =10^–4。通信用户数目为2，期望信号s为随机产生的正交相移键控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)信号。传输的通信信号总能量e_c = 20。相似系数为δ = 0.5 e_T，以LFM信号作为初始信号，计算得到w⁽⁰⁾，利用w⁽⁰⁾计算出x⁽⁰⁾，将w⁽⁰⁾和x⁽⁰⁾作为算法迭代初始值。

图4为SINR_r随算法迭代次数变化曲线，可以看出算法经过若干次迭代便很快收敛。当算法收敛时SINR_r为31.08 dB，比LFM信号提升7.08 dB。但由于需要满足额外的通信约束，所设计波形的SINR_r与上界值(此处为34.08 dB)和单功能探测波形(去除式(14)中的通信约束条件，利用联合优化算法进行设计，SINR_r为32.61 dB)相比有一定损耗，损耗分别为3.00 dB和1.53 dB。

图 4 SINR_r随着迭代次数的变化曲线(通信MUI能量为10^–3)

Figure 4. SINR_r versus iteration number with MUI energy of 10^–3

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图5为所设计波形和接收滤波器形成的波束方向图，定义为

图 5 波束方向图(通信MUI能量为10^–3)

Figure 5. Beampattern of the dual-function radar-communication systems with MUI energy of 10^–3

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$P(\theta) = |{\boldsymbol{w}}^{{\rm{H}}}{\boldsymbol{A}}(\theta){\boldsymbol{x}}|^{2}$

(43)

注意到波束方向图在目标方向增益最高，在点目标杂波干扰方向均形成零陷，响应均低于–120 dB；在密集杂波干扰方向形成凹槽，响应低于–90 dB。因此，本文提出的联合优化方法能够有效地抑制杂波，较好地实现杂波环境中的目标探测功能。

图6为所合成通信信号的性能，其中图6(a)为合成信号 ${{\stackrel \frown {\boldsymbol{{C}}} {\boldsymbol{x}}}}$ 的星座图，可以看出星座图较为理想；图6(b)为合成信号 ${{\stackrel \frown {{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}}$ 与期望信号s的对比图，可以看出二者误差很小，能够满足通信需要。

图 6 合成通信信号

${{\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}}$ 性能

Figure 6. The performance of the synthesized communication signals

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图7分析了系统和速率与通信信号信噪比的关系。将第m个通信用户接收信号的信噪比定义为

图 7 和速率随通信信号信噪比变化情况

Figure 7. The achievable sum-rate versus the signal-to-noise ratio of communication signals

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${\text{SN}}{{\text{R}}_m}_{,{\text{c}}} = \mathbb{E}\{ |{s_{m,l}}{|^2}\} /\sigma _{z,m}^2$

(44)

其中，s_m,l和 $\sigma _{z,m}^2$ 分别为第m个通信用户期望接收到的第l(l = 1, 2, ···, L)个码元和接收噪声功率，假设每个通信用户接收端噪声功率相同。保持信号幅度不变，通过改变噪声功率来实现既定的信噪比。图7表明，在低信噪比情况下，接收机噪声明显大于信号合成误差，故合成信号与单一通信信号的和速率近似相等；当信噪比增大时，噪声功率变小，信号合成误差对于和速率的影响变大，故合成信号的和速率略低于单一通信信号。

实验2：分析相似性系数δ对一体化系统性能的影响。保持实验1中其他条件不变，令δ = 0.25e_T, 0.50e_T, e_T，并与仅有能量约束所设计的波形进行对比，所得结果如图8所示，所设计波形的模糊函数如图9所示。可以看出δ越小，即所设计的波形与参考波形越接近，所形成的模糊函数越好，但会导致波形设计的自由度变小，从而使得系统SINR_r降低。因此，在波形设计时应根据需要对相似性系数δ进行选择。

图 8 不同

$\delta$ 条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 8. SINR_r versus iteration number for different δ

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图 9 波形的模糊函数

Figure 9. Ambiguity functions of the presented waveforms

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实验3：分析多用户干扰能量对一体化系统性能的影响。保持实验1中其他条件不变，令β = 10^–5, 10^–4, 10^–3。实验结果如图10、图11所示。当通信信号信噪比一定时，雷达通信一体化系统允许的最大多用户干扰能量增大，意味着通信信号合成误差增加，故会使得系统和速率降低；与此同时，由于波形设计的可行区域增加，SINR_r也增加，然而所增加的值极为有限。因此，可以根据雷达通信不同需求，对多用户干扰能量进行设置。

图 10 不同β条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 10. SINR_r versus iteration number for different β

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图 11 不同β条件下和速率随通信信号信噪比变化情况

Figure 11. The achievable sum-rate versus the signal-to-noise ratio of communication signals for different β

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实验4：分析通信用户数目对一体化系统性能的影响。保持实验1中其他条件不变，令M = 2, 3, 4。实验结果如图12所示，当通信用户数目增加时，可行解的取值范围变小，从而使得SINR_r下降。这也说明一体化系统实现通信功能会对雷达探测性能造成一定影响。

图 12 不同通信用户数目条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 12. SINR_r versus iteration number for different M

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5. 结语

本文研究了杂波环境中的雷达通信一体化系统发射波形设计问题，提出了一种基于循环优化和半正定松弛的嵌套优化算法对发射波形和接收滤波器进行联合优化。研究结果表明，本文算法所设计的波形能够使得系统方向图在杂波方向上形成零陷、在目标方位上响应最强，有效提升了系统抗干扰性能。与此同时，系统所合成的通信信号与期望通信信号之间的误差极小，保证了与多用户同时通信的性能。另外，通过相似性系数的设置，能够使得波形具有比较理想的模糊函数，有利于推动所设计波形走向工程应用。

尽管本文在波形设计时施加了相似性约束，算法所设计的波形仍然不具备恒定包络。另外，由于SDP问题的求解复杂度较高，算法难以高效设计码元个数较多的波形。故而，如何进一步降低算法复杂度，以及设计恒定包络波形，都值得进一步研究。

图 1 基于MIMO阵列的雷达通信一体化系统

Figure 1. Dual-function radar communication system based on MIMO array

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图 2 ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$ 的分解方法

Figure 2. The decomposition of ${{{\tilde {\boldsymbol{X}}}}^{{\text{opt}}}}$

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图 3 联合优化算法流程图

Figure 3. Flow chart of the joint optimization algorithm

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图 4 SINR_r随着迭代次数的变化曲线(通信MUI能量为10^–3)

Figure 4. SINR_r versus iteration number with MUI energy of 10^–3

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图 5 波束方向图(通信MUI能量为10^–3)

Figure 5. Beampattern of the dual-function radar-communication systems with MUI energy of 10^–3

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图 6 合成通信信号 ${{\stackrel \frown{{\boldsymbol{C}}} {\boldsymbol{x}}}}$ 性能

Figure 6. The performance of the synthesized communication signals

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图 7 和速率随通信信号信噪比变化情况

Figure 7. The achievable sum-rate versus the signal-to-noise ratio of communication signals

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图 8 不同 $\delta$ 条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 8. SINR_r versus iteration number for different δ

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图 9 波形的模糊函数

Figure 9. Ambiguity functions of the presented waveforms

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图 10 不同β条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 10. SINR_r versus iteration number for different β

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图 11 不同β条件下和速率随通信信号信噪比变化情况

Figure 11. The achievable sum-rate versus the signal-to-noise ratio of communication signals for different β

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图 12 不同通信用户数目条件下SINR_r随着迭代次数的变化曲线

Figure 12. SINR_r versus iteration number for different M

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参考文献(32)

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1. 引言
2. 信号模型与问题描述
2.1 通信模型
2.2 探测模型
2.3 雷达通信一体化系统波形优化问题建模
3. 联合优化算法设计
3.1 固定x(n)，优化w(n+1)
3.2 固定w(n+1)，优化x(n+1)
3.3 算法总结及复杂度分析
4. 仿真实验
5. 结语

1. 引言
2. 信号模型与问题描述
2.1 通信模型
2.2 探测模型
2.3 雷达通信一体化系统波形优化问题建模
3. 联合优化算法设计
3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾
3.2 固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，优化x⁽ⁿ⁺¹⁾
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4. 仿真实验
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杂波环境中雷达通信一体化系统波形设计算法研究

DOI: 10.12000/JR22105

通讯作者:
唐波 tangbo17@nudt.edu.cn

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Waveform Design for Dual-function Radar-communication Systems in Clutter

Corresponding author: TANG Bo, tangbo17@nudt.edu.cn

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2. 信号模型与问题描述

2.1 通信模型

2.2 探测模型

2.3 雷达通信一体化系统波形优化问题建模

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3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾

3.2 固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，优化x⁽ⁿ⁺¹⁾

3.3 算法总结及复杂度分析

4. 仿真实验

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2. 信号模型与问题描述

2.1 通信模型

2.2 探测模型

2.3 雷达通信一体化系统波形优化问题建模

3. 联合优化算法设计

3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾

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2.1 通信模型

2.2 探测模型

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3. 联合优化算法设计

3.1 固定x(n)，优化w(n+1)

3.2 固定w(n+1)，优化x(n+1)

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4. 仿真实验

5. 结语

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1. 引言

2. 信号模型与问题描述

2.1 通信模型

2.2 探测模型

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3. 联合优化算法设计

3.1 固定x(n)，优化w(n+1)

3.2 固定w(n+1)，优化x(n+1)

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3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾

3.2 固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，优化x⁽ⁿ⁺¹⁾

3.1 固定x⁽ⁿ⁾，优化w⁽ⁿ⁺¹⁾

3.2 固定w⁽ⁿ⁺¹⁾，优化x⁽ⁿ⁺¹⁾