1 引言

在机载交轨阵列SAR下视3维成像技术中，为提高交轨向分辨率、减少飞行次数，考虑采用稀疏重航过方式^[1,2]。文献[3]采用巴克码伪随机序列作为稀疏重航过采样准则，获得聚焦效果良好的3维成像结果，此方法避免了图像栅瓣影响，但基于匹配滤波的成像算法仍使成像结果受到副瓣噪声的干扰。文献[4]提出通过干涉处理使图像频谱具备稀疏特性，并利用频域低通滤波处理改善图像质量。文献[5,6]在稀疏图像频谱基础上，利用压缩感知(Compressed Sensing, CS)^[7–12]理论重建频谱，并反变换至空间域。该成像结果保留了图像高频细节，成像性能良好。本文在此基础上，进一步研究了运动误差条件下的稀疏重航过阵列SAR3维成像问题。

由于机载阵列SAR在重航过飞行过程中，一方面存在阵列形变误差，另一方面存在航迹曲线偏移，由此给3维成像带来诸多困难^[13,14]。可采用分布式位置和姿态测量系统(Position and Orientation System, POS)^[15,16]对天线子阵相位中心位置和阵列形变进行实时测量，再通过相位补偿技术以保证阵列天线成像质量^[17]。目前分布式POS位置测量精度约在3 cm量级，由于本文稀疏重航过阵列SAR3维成像分辨率均在0.5 m量级，分布式POS位置测量精度基本能够满足3维成像时构造匹配滤波的要求，此时阵列形变误差补偿主要转化成相位误差补偿问题。文献[18]针对稀疏阵列SAR孔径综合带来的数据冗余和高重复频率等问题，提出一种基于修正均匀冗余阵列(Modified Uniformly Redundant Arrays, MURA)正反编码空间调制^[19]和干涉处理的频域稀疏成像算法。在此基础上，针对稀疏重航过采样和分布式POS引入的位置测量误差，本文采用MURA正反编码空间调制对各单航过回波信号进行处理，利用各3维复图像对其阵列形变误差高度相关的性质，通过干涉处理和频域CS方法在频域重建图像频谱，等效实现阵列形变误差补偿。由于经阵列形变误差补偿后，单航过对应的3维复图像在频谱具备稀疏特性，对各航过复图像进行相位补偿和相干累加，可实现稀疏重航过下视高分辨率3维成像。

2 成像模型

图1为机载交轨稀疏重航过阵列SAR下视 3 维成像几何。其中， $X$ , $Y\;$ , $Z$ 坐标分别代表顺轨向、交轨向和高程向，平台高度为 $H$ 。交轨分辨率由稀疏重航过构成的等效阵列长度决定，稀疏重航过采样准则为巴克码伪随机序列^[20]。

重航过机载阵列SAR实际飞行过程如图2所示。图2(a)中阵列天线存在形变和各子阵相对位移，可利用分布式POS实时测量天线子阵相位中心位置和阵列形变信息。图2(b)和图2(c)所示中各航过航迹为曲线分布，可利用3维BP成像算法进行逐点成像^[21]。设第 $i$ 次航过对应的3维BP成像结果为 ${{{a}}_i}$ ，则重航过3维成像结果可由单航过复图像在图像域相干累加获得

3 信号处理

稀疏重航过采样条件和图2(b)所示的航迹间不均匀飞行间隔(图中 ${d_2}$ 部分)会使成像结果产生副瓣干扰和能量泄露；图2(c)所示的分布式POS等位置测量系统会引入测量误差，故直接利用3维BP成像算法和式(1)得到的成像结果存在散焦现象，需进一步重建。本文利用干涉处理和SAR复图像频域稀疏性，提出一种运动误差条件下的稀疏重航过阵列SAR 3维成像方法。利用MURA编码和3维BP算法获得各航过3维复图像对；利用干涉处理使SAR图像在频域体现稀疏特性，满足CS理论重建前提；在频域建立CS模型并求解，等效实现各航过阵列形变误差补偿和单航过3维成像。经阵形误差补偿后的SAR复图像其频谱具备稀疏特性，对各单航过复图像进行相位补偿和相干累加，可实现稀疏重航过和运动误差条件下的高分辨率SAR 3维成像。

3.1 MURA正反编码空间调制

MURA编码是一种2维伪随机码，其产生方式固定，便于雷达系统设计^[22]。图3为 127×127 大小的MURA正码码型及其自相关函数图。从图中可看出，MURA编码稀疏率约为50%，且自相关特性良好。MURA反码是对正码逐位取反，性质与正码相同。

采用MURA正、反编码对各航过SAR回波进行空间调制的步骤为：在每一个距离向(高程向)采样单元，将MURA正、反编码分别与第 $i$ 次航过回波信号在顺轨向-交轨向采样平面进行点乘，表达式如下

其中， ${{{s}}_i}(l)$ 为第 $i$ 次航过回波信号在第 $l$ 个距离向采样单元对应的2维回波矩阵， ${{{s}}_{1i}}(l)$ , ${{{s}}_{2i}}(l)$ 分别表示 ${{{s}}_i}(l)$ 经MURA正、反编码调制后的2维回波矩阵， $L$ 为距离向采样单元个数， ${{M}}$ 为MURA正码。将正反编码空间调制后的回波信号进行3维BP成像处理得到两幅3维复图像，分别记作 ${{{a}}_{1i}}$ , ${{{a}}_{2i}}$ 。

3.2 干涉处理和SAR频域稀疏特性

针对干涉雷达而言，如果两幅天线的视角非常相近，则对应两个随机初相位基本相同，干涉处理后雷达复图像频谱将会变窄具备稀疏性。将干涉处理推广至3维复图像域，假设经MURA正、反编码调制后的第 $i$ 次航过对应两幅3维复图像为 ${{{a}}_{1i}}, {{{a}}_{2i}}$ ，则

其中， ${{A}}$ 为SAR3维复图像的幅度矩阵， ${{{φ}} _{1i}}, {{{φ}} _2}_i$ 为SAR3维复图像的相位矩阵， ${{{φ}} _{d1}}, {{{φ}} _{d2}}$ 表示采样点至观测场景的距离引起的相位， ${{{φ}} _{r1}}, {{{φ}} _{r2}}$ 为SAR系统产生的初始相位。由于SAR空间采样间隔通常远大于波长，其分辨单元内初始相位 ${{{φ}} _{ri}}$ 是随机变化的，该随机初始相位主要是由于斜距向分辨单元间复散射系数不同和斜距向采样间隔较大而产生，由此使SAR复图像频谱较宽难以压缩。

针对MURA正反编码对应的两幅复图像 ${{{a}}_{1i}}, {{{a}}_{2i}}$ ，由于 ${{{a}}_{1i}}, {{{a}}_{2i}}$ 对应同一SAR系统，则分辨单元内随机初始相位也近似相等，即 ${{{φ}} _{r1}} \approx {{{φ}} _{r2}}$ 。对两幅图像作干涉处理，得干涉后的图像 ${{{a}}_{{\rm{in}}, i}}$ 为

由式(4)可知，干涉处理后图像 ${{{a}}_{{\rm{in}}, i}}$ 的频谱具备稀疏性，窄带频谱可通过建立并求解频域CS模型进行重建，将重建后的频谱反变换至空间域，可实现稀疏重航过和各航迹不均匀飞行间隔下的3维成像。

3.3 干涉处理和阵列形变测量误差

针对分布式POS带来的阵列形变位置测量误差，可将式(3)中 ${{{φ}} _{d1}}$ 和 ${{{φ}} _{d2}}$ 分别写为

其中， ${{{R}}_1}, {{{R}}_2}$ 为采样点至观测场景的距离矩阵， $\Delta {{{R}}_1}, \Delta {{{R}}_2}$ 为阵列形变位置测量误差引起的斜距误差矩阵。由于阵列形变误差发生在回波信号采集过程中，在交轨向-顺轨向2维空间，交错的MURA正、反编码对应同一信号采集过程，两幅3维复图像对应的阵列形变误差高度相关，其斜距偏移量近似相等，即 $\Delta {{{R}}_1} \!\approx\! \Delta {{{R}}_2}$ 。故式(4)亦可写成如下形式

因此，可认为经过MURA正、反编码调制和干涉处理后，阵列形变误差引起的斜距误差对相位的影响已被消除。消除相位误差后的窄带频谱可通过建立并求解频域CS模型进行重建，将重建后的频谱反变换至空间域，可等效实现阵列形变误差补偿。

3.4 基于频域CS的图像重建算法

实际飞行过程，阵列天线在X, Y, Z3个方向均存在形变误差，因此单航过图像的稀疏频谱重建需在3个方向进行。为简化计算，本文在顺轨向、高程向采用稀疏信号处理中的频域低通滤波方法，在交轨向采用基于频域CS的图像重建算法。

假设第 $i$ 次航过下，某一等效相位中心(采样点) ${Q_{ki}}$ 的交轨向空间位置为 ${w_k}$ , $ 1 + (i - 1) \times {K_c} \le $ $k \le i \times {K_c}$ , ${K_c}$ 为单航过阵列天线对应的等效相位中心个数；成像区域某一分辨单元 ${P_n}$ 的空间位置为 $({x_0}, {y_n}, {z_0})$ , $1 \le n \le {N_c}$ , ${N_c}$ 为交轨向分辨单元总数。则采用MURA正码空间调制和BP成像算法得到的顺轨向-高程向成像结果为

其中， ${R_n}({w_k})$ 为空间采样点 ${Q_{ki}}$ 到成像区域中某一分辨单元 ${P_n}$ 的距离， $ {R_n}\left( {{w_k}} \right) =$ $ \sqrt {{{({h_0} - {z_0})}^2} + {{({u_0} - {x_0})}^2} + {{({w_k} - {y_n})}^2}} $ , $({u_0}, {h_0})$ 为顺轨向-高程向参考采样点， ${\sigma _n}$ 为分辨单元 ${P_n}$ 对应的后向散射系数。假设交轨等效阵列天线长度远小于采样点到观测场景的距离，则 ${R_n}\left( {{w_k}} \right)$ 可写为

其中， ${R_0} = \sqrt {{{({h_0} - {z_0})}^2} + {{({u_0} - {x_0})}^2}} $ ，故式(7)可以写为

因此可将信号 ${s_{1i}}({x_0}, {w_k}, {z_0})$ 重新写成如式(10)的测量矩阵的形式

其中， ${{{s}}_{1i}}({x_0}, :, {z_0})$ 为顺轨向-高程向成像后的交轨信号向量， ${{{Φ}} _i}$ 为测量矩阵， ${{{a}}_{1i}}({x_0}, :, {z_0})$ 为第i次航过下对应的交轨向散射系数向量。

由式(4)和式(6)可知，待重建的3维复图像 ${{{a}}_{1i}}$ 中，交轨向散射系数向量 ${{{a}}_{1i}}({x_0}, :, {z_0})$ 可以表示为

令 ${{{a}}_{{\rm{in}},i}}({x_0}, :, {z_0})={{Ψ}} {{{β}} _i}({x_0}, :, {z_0})$ ， ${{Ψ}} $ 为傅里叶变换基矩阵， ${{{β}} _i}({x_0}, :, {z_0})$ 为 ${{{a}}_{{\rm{in}},i}}({x_0}, :, {z_0})$ 对应的频谱系数矩阵，则

综合式(10)至式(12)，可得交轨向频域CS测量模型为

其中， ${{{P}}_i}$ 为MURA反码对应复图像 ${{{a}}_{2i}}$ 相位构成的对角矩阵， ${{{P}}_i} = {\rm{diag}}\left\{ {\exp \left[ {{\rm{j}}{{{φ}} _{{2_i}}}({x_0}, :, {z_0})} \right]} \right\}$ 。对式(13)进行 $\ell p(p = 1/2)$ 范数最优化准则^[23]求解，求解准则如下式所示，其中 $\xi $ 为正则化参数

将求解所得的交轨频域系数向量记为 $ {{{β}} _{{\rm{new}},i}}({x_0}, $ $ :,{z_0})$ ，并在所有顺轨-高程成像单元 $({x_0}, {z_0})$ 重复式(14)。在顺轨向和高程向进行2维傅里叶变换，得到待恢复SAR复图像对应的频域系数矩阵 ${{{β}} _{{\rm{new}},i}}$ 。对 ${{{β}} _{{\rm{new}},i}}$ 进行频域低通滤波处理，并进行3维逆傅里叶变换至空间域，可获得单航过下的低分辨率3维成像，等效实现阵列形变误差精确补偿。设第 $i$ 次航过下经阵列形变误差补偿后的3维成像结果为 ${{{a}}_{{\rm{new}},i}}$ 。

由前述分析可知，经阵列形变误差补偿后的单航过3维图像信号 ${{{a}}_{{\rm{new}},i}}$ 在频域满足稀疏性，因此可以在稀疏重航过和运动误差导致的航迹欠采样条件下对图像进行高分辨率成像。阵列形变误差补偿后，各航过复图像相干累加之前需要补偿参考相位，以恢复各航过复图像间的相位关系，故将式(1)改写为

其中， ${{{P}}_i}'$ 为第 $i$ 次航过采用MURA反码空间调制对应的3维复图像相位， ${{{P}}_i}' = \exp ({\rm{j}}{{{φ}} _2}_i)$ 。由于该复图像相位通过回波得到，可真实反映各航过采样点到3维成像空间各分辨单元的几何关系，由此恢复并建立各航过复图像间的相位关系。对补偿后的稀疏重航过各个复图像相干累加，可实现稀疏重航过阵列SAR高分辨率下视3维成像。

目前用于构造BP成像参考匹配滤波器的分布式POS位置测量精度约为3 cm，本文稀疏重航过阵列SAR 3维成像分辨率在0.5 m量级，这使上述通过相位补偿恢复并建立各航过复图像间的相位关系成为可能。为更有效利用分布式POS位置测量信息，对测量数据进行多项式拟合^[24]和联合处理，去除POS测量数据的高频误差，其中多项式拟合使用最小二乘(Least Square, LS)估计。稀疏重航过阵列SAR运动误差补偿和3维成像方法对应的信号处理流程图如图4所示。

4 仿真分析 4.1 仿真参数

设计顺轨向-交轨向-高程向3维分辨率均为0.5 m的机载交轨向稀疏重航过阵列SAR下视3维成像仿真模型，仿真参数列于表1，其中等效相位中心可由稀疏阵列天线获得。为获得交轨向0.5 m分辨率，需设计7次重航过飞行序列，对应巴克码稀疏重航过准则为[1 1 1 0 0 1 0]，对应飞行次数为4次。观测场景交轨向-顺轨向大小为20 m×20 m，包含一个圆锥体(半径为8 m，高度为10 m)和一个圆柱体(半径为2 m，高度为5 m)，并假设几何体的后向散射系数为1.0，地面后向散射系数为0.1。

存在运动误差条件下的重航过曲线航迹如图5，图6所示。图5为各航迹在顺轨向-交轨向2维平面的投影，图中航迹在顺轨向沿正弦曲线分布，航迹间隔最大值约为2 m，重叠部分最大值约为1.8 m，稀疏重航过采样方式对应图中的第1, 2, 3, 6条轨迹。图6为各航迹中心在顺轨向-高程向2维平面的投影，图中纵坐标为合成孔径长度内高度向航迹与理想航迹的偏差。

假设实际飞行中阵列形变引起的斜距偏移在顺轨向、交轨向均沿3次多项式缓变，斜距偏移量绝对值的最大值为0.1 m，本文基于分布式POS测量数据对回波信号进行阵列形变粗补偿。图7为分布式POS位置测量误差引起的斜距误差2维分布，假设阵列形变误差在顺轨向沿正弦曲线分布(图7(b))，在交轨向沿3次多项式分布(图7(c))，斜距误差最大绝对值为0.03 m，已达到一个波长。为简化分析，统一考虑重航过形成的2维采样面阵对应的阵列形变误差。

4.2 仿真结果

在理想条件下，采用基于3维BP算法的直接成像方法分别进行单航过、未稀疏重航过和稀疏重航过阵列SAR 3维成像，成像结果如图8至图10所示。单航过阵列SAR下视3维成像结果如图8所示，其中3维图像的归一化阈值为0.15。从图8中可知，单航过对应交轨向分辨率较低，成像质量较差。7次未稀疏重航过3维成像结果如图9所示，从图中可知，重航过采样方式可大幅提高交轨向分辨率，成像结果可准确反映观测场景。图10所示为以7位巴克码[1 1 1 0 0 1 0]为准则的稀疏重航过阵列SAR下视3维成像结果，成像结果避免了等值栅瓣干扰，但交轨向仍存在副瓣噪声，需要进一步图像重建。

存在运动误差条件下的稀疏重航过阵列SAR 3维成像结果如图11所示。从图中可知，由于交轨向航迹间欠采样和阵列形变误差影响，图像交轨向出现较高的副瓣，成像结果失真。

存在运动误差条件下，采用本章所提方法对稀疏重航过阵列SAR回波信号进行运动误差补偿和3维图像重建。经阵列形变误差补偿后，单航过对应的3维复图像在频谱具备稀疏特性，如图12所示，故可使用稀疏重航过采样方式进行下视3维成像。图13为采用本章提出的稀疏重航过阵列SAR运动误差补偿和3维成像方法得到的成像结果。可以看出，运动误差补偿后图像质量得到明显提升，副瓣噪声被抑制，成像结果中可清晰分辨锥体和柱体的3维信息。图8至图13的仿真结果说明本章所提方法可将分布式POS位置测量精度要求降低至3 cm波长量级。

采用相关系数^[25]、均方根误差和结构相似度(Structural SIMilarity, SSIM)^[26]作为3维图像重建结果的定量评价指标，比较参考值为仿真场景理论值，图像质量评价结果如表2所示。从图像质量评价结果可知，重航过采样方式可大幅提升交轨成像性能，但稀疏重航过采样方式会使图像带来副瓣噪声误差，需进一步重建；在运动误差条件下，本文所提方法对应的成像结果最接近理想条件下未稀疏重航过成像结果，表明本文方法具有运动误差补偿和副瓣噪声抑制能力。

5 暗室试验数据处理

本节利用微波暗室试验数据验证上述方法的有效性。微波暗室半物理仿真试验在西北工业大学无人机特种技术科技重点实验室的综合性能屏蔽暗室内搭建完成。数据采集过程中，系统利用步进频宽带信号获得距离向分辨率，利用天线在扫描平面上移动形成的2维采样面阵获得另外两维分辨率，由此得到目标的3维图像^[27,28]。

5.1 试验参数

试验观测目标为以金属板为背景的一辆坦克模型(长度约为0.80 m，宽度约为0.30 m，高度约为0.30 m)，观测目标如图14所示，试验参数如表3所示。将天线扫描平面(X-Y平面)视为机载稀疏重航过阵列SAR顺轨向-交轨向采样平面，按照巴克码稀疏采样准则抽取满阵数据，将X方向数据稀疏化，以模拟机载交轨阵列SAR稀疏重航过方式。图15所示为7位巴克码稀疏采样方式对应的X方向数据抽取示意图。其中实心圆代表被保留的数据，每一位巴克码对应7个空间采样点。

为模拟实际飞行中阵列形变测量误差引起的相位误差，在各距离门对应的X-Y平面数据加入缓变的2维相位矩阵 ${Δ} {{φ}} $

其中， $\Delta {{R}}$ 在X方向沿3阶多项式分布，在Y方向沿正弦曲线分布。 $|\Delta {{R}}|$ 最大值假设为波长量级( $\max \{ |\Delta {{R}}|\} =0.03$ m)。

5.2 试验结果

暗室试验数据处理结果如图16所示，归一化阈值设为0.15。其中，理想条件下的满采样3维成像结果等高线图如图16(a)所示，理想条件下的稀疏重航过3维成像结果如图16(b)所示；在稀疏重航过条件下，回波数据中加入相位误差 ${Δ} {{φ}} $ 并直接成像的3维成像结果如图16(c)所示。从中可知，3 cm波长量级的阵列形变误差使图像产生高副瓣噪声，成像结果严重失真。采用本文所提稀疏重航过运动误差补偿和3维成像方法对应的成像结果如图16(d)所示，成像结果中图像波束畸变的影响被减小、副瓣噪声被抑制，成像结果可区分观测目标。暗室试验数据处理结果的图像质量评价如表4所示，其中比较对象为理想条件下满采样直接成像结果。试验结果和误差分析说明本文方法可在阵列形变误差为3 cm波长量级时，对观测目标进行有效成像，降低了对分布式POS等测量系统的测量精度要求。

6 结论

本文采用巴克码伪随机序列为稀疏重航过采样准则，实现了运动误差条件下机载交轨稀疏重航过阵列SAR下视3维成像。利用MURA正、反编码对单航过阵列SAR回波信号进行空间调制，得到两路回波信号。采用3维BP算法对MURA反码回波信号进行3维成像处理，将所得3维复图像作为参考复图像，对正码对应图像信号进行干涉处理。干涉处理后的图像信号具备频域稀疏特性，同时去除了阵列形变误差带来的相位误差影响。在频域采用CS方法重建图像频谱系数，并反变换至空间域，等效实现各航过阵列形变误差补偿。根据单航过阵列SAR3维复图像频域稀疏性质，对各单航过复图像进行相位补偿和相干累加，可实现稀疏重航过阵列SAR高分辨率3维成像。本文方法降低了对分布式POS的测量精度要求，易于工程实现，相关研究工作对机载/星载稀疏重航过SAR观测数据的应用具有重要意义。