1 引言

目标定位广泛应用在雷达、声呐、通信和导航中，包括获取目标的距离、位置、速度等信息。本文考虑利用频控阵MIMO雷达获取目标的角度、距离和幅度信息。近年来，多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系统吸引了众多学者和科研团队的广泛关注。受最先进的通信理论启发，特别是MIMO系统和空时编码技术^{[1, 2]}，在2003年的第37届、2004年的第38届“信号、系统与计算机”的Asilomar会议以及2004年的IEEE雷达会议上专题讨论了MIMO雷达系统及其相关理论问题^{[3, 4, 5]}，从此MIMO雷达的概念被正式提出。相比相控阵雷达，MIMO雷达除了提高了目标检测的可靠性和探测隐身目标的能力外，MIMO雷达具有更高的分辨特性、更好的目标参数估计性能、抗干扰能力以及更好的目标识别能力等等。

此外，在多天线系统中，频控阵(Frequency Diverse Array, FDA)被认为是一种很有潜力的技术。在2006年的IEEE国际雷达会议上，P. Antonik等人首次提出频控阵雷达的概念^[6]。在FDA中，相邻阵元存在一个较小的频率增量，该频率增量相对时间而言是恒定的，且远远小于载频，于是发射信号在频域上部分重叠。P. Antonik指出FDA波束形成器的波束扫描角随着距离而变化，结果频控阵雷达的波束具有角度和距离依赖性，这为目标的距离和角度参数联合定位提供可能。结合MIMO雷达^{[7, 8]}，文献[9]提出了一种基于频控阵的MIMO雷达技术，该文考虑了将波形复用和FDA应用到了双站雷达系统中，通过仿真验证了FDA雷达获取目标的距离和角度是可能的。为了实现距离和角度估计，王文钦博士^[10]提出了频控阵的发射子孔径设计方案，其本质上是将发射阵列划分成多个子阵，并利用凸优化理论优化发射方向图矩阵。结合空时自适应处理(Space Time Adaptive Processing, STAP)，许京伟博士^[11]提出了基于频率分集阵列STAP雷达的距离模糊杂波分离与抑制方法，该方法利用频率分集阵列发射导向矢量的距离角度2维依赖性，通过空间频率域子空间投影实现距离模糊杂波的分离。文献[12]提出使用两脉冲的频控阵估计目标的距离和角度，第1个脉冲利用传统的相控阵估计目标的角度信息，再利用第2个脉冲通过频率增量估计出距离信息。

本文在研究FDA-MIMO雷达基础上，结合稀疏迭代技术，解决FDA-MIMO雷达中的角度、距离及幅度估计问题。FDA-MIMO的发射波束不仅与目标的方位角有关，同时也与目标的距离有关。在建立FDA-MIMO系统模型的基础上，首先将迭代自适应方法引入到FDA-MIMO雷达中，研究基于迭代自适应方法的FDA-MIMO雷达参数估计；接着提出一种基于稀疏迭代的加权最小化方法，该方法利用加权l_q范数(0 < q≤1)做为目标函数，并通过迭代优化估计目标的距离、角度及幅度信息。最后仿真验证本文给出的稀疏迭代方法的有效性。

2 频控阵MIMO雷达信号模型

考虑窄带频控阵MIMO雷达系统模型，其阵列由N个发射天线和M个接收天线构成。N个不同的发射天线上发射的信号x(t)表示为：

其中，E是发射能量，${T_n}$是雷达脉冲持续时间，${s_n}\left(t \right)$为基带信号，${f\!_n}$是第n天线上的载波频率，其表示为：

其中，${f\!_0}$是第1个阵元的载频频率，Δf是频率增量，而且$\Delta f \ll {f\!_0}$。

在频控阵MIMO雷达中，发射信号s(t)$\left(\mathit{\boldsymbol{s}}(t){\rm{ = [}}{s_1}(t) \ {\rm{ }}{s_2}(t) \ \cdots \ {s_N}(t){\rm{]}}\right)$通过频控阵列，照射到散射体上。假设某个散射体位于角度θ、相对于发射阵列的第1个天线为距离r处。则第1个天线到目标的相位为：

其中，λ₁表示第1个发射阵元上的载波波长。类似地，第n个天线到目标的相位为：

其中，d_t表示发射阵列的阵元间隔，${r\!_n}$表示第n个天线到目标之间的距离。于是，发射阵列的第n个天线与第1个天线之间的相位差可表示为：

以第1个阵元作为参考阵元，可得频控阵MIMO雷达的发射阵列的导向向量为：

于是，频控阵MIMO雷达模型的阵列因子(Array Factor, AF)定义为：

其中，相位项Φ₀定义为：

当雷达系统发射的波形信号照射到L个散射体上，假设第l个散射体位于远场、且角度和距离为$({\theta _l}, {r_l})$处。暂不考虑散射体的多普勒转移，只是对静止目标而言。在假设散射体为点目标情况下，雷达接收的基带信号为：

其中，${(\cdot)^{\rm T}}$表示转置，${(\cdot)^{\rm H}}$表示共轭转置，$\alpha ({r_l}, {\theta _l})$表示第l个散射体幅度，e(t)为噪声和干扰项，${\mathit{\boldsymbol{b}}}({\theta _l})$表示接收导向向量，本文接收天线采用相控阵列，故${\mathit{\boldsymbol{b}}}({\theta _l})$定义为：

其中，d_r是接收阵列的阵元间隔。

式(9)经采样处理转换成离散信号，并将感兴趣的目标场景划分成P个距离单元和K个角度单元，可能的目标位置完全与离散单元匹配，则在单次快拍的情况下接收信号的矩阵形式为：

其中，E为加性噪声，$\mathit{\boldsymbol{S}} \in \mathbb {C}{^{L \times N}}$(其中L表示每个天线上的数据采样数)。

堆积接收信号，即将接收信号表示成向量形式y=vec(Y)，式(11)转化为：

其中，vec表示将矩阵元素按列排成一个列向量，从而将矩阵向量化。α表示目标的距离、角度和幅度信息，V包含了阵列的导向矢量，其分别为：

其中，V的列向量为：

在式(12)，接收信号y和导向矩阵V是已知的，α是未知的。本文利用式(12)，通过稀疏迭代的方法同时估计出目标的距离、角度和幅度信息。

3 基于稀疏迭代的多维参数联合估计方法

正如文献[13]所述，频控阵在MIMO雷达中的一个重要应用潜力是对目标的距离和角度进行2维联合估计。文献[14]考虑了将迭代自适应方法(Iterative Adaptive Approaches, IAA)应用在MIMO雷达成像中，但在文献[14]中，接收信号模型中引入了转移矩阵以表示目标的距离信息，本文式(9)中没有引入转移矩阵，通过利用频控阵MIMO导向向量的距离依赖性，联合估计目标的距离、角度和幅度信息。本小节在介绍IAA的基础上，将加权q范数最小化方法^[15]扩展至频控阵MIMO雷达中进行估计目标参数。

3.1 迭代自适应方法

令${\alpha _{p, k}}$为感兴趣的目标参数(为了表示方便，使用${\alpha _{p, k}}$代替前文中的$\alpha ({r\!_p}, {\theta\!_k})$)，将可能的目标参数${\alpha _{p', k'}}$(其中$(p', k')$$ \ne (p, k)$)表示干扰信号，于是，干扰协方差矩阵定义为：

其中，P表示距离维。同样，定义数据协方差矩阵为：

IAA最小化如下的加权均方目标函数：

最小化式(18)可得到如下的目标参数估计：

由于

并利用矩阵的逆特性，可得

因此，式(19)中${\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{p, k}^{ -1}$的可被R^-1代替，以减少了计算量。式(19)简化为：

由于式(17)中R依赖于$\left\{ {{\alpha _{p, k}}} \right\}$，故利用迭代方法估计目标的距离和角度信息，并使用时延求和(Delay-And-Sum, DAS)估计做为初始估计。具体过程如下：

Step 1  初始化：

Step 2 根据式(17)，求解R；

Step 3 根据式(22)，${\widehat \alpha_{p, k}}$；

Step 4 增加迭代数k，重复迭代Step 2和Step 3，直到满足一定的停止准则，或者循环达到一定的次数时停止迭代。

在实际中，雷达系统仅需照射有限的角度区域(如-30°~30°)^[14]，不需要覆盖整个区域(-90°~90°)。但当扫描单元数K减少时，式(17)中R可能不满足条件，由于R可逆的条件是P·K ≥ML。为了解决该问题，文献[14]考虑使用对角矩阵${\mathit{\boldsymbol{Σ}}} $调整R，使其满足可逆条件，对角矩阵${\mathit{\boldsymbol{Σ}}} $的对角线上的元素利用噪声功率得到。于是，式(17)中R的一般化形式可表示为：

其中，${\mathit{\boldsymbol{Σ}}}$的对角线上的噪声功率项定义为$\left\{ {\sigma _l^2} \right\}, \; l = 1, \cdots, ML$。噪声功率项也是通过迭代更新，IAA-R估计的$\widehat \sigma _l^2$如下所示：

其中，${\overline {\mathit{\boldsymbol{w}}}_l}$表示${{\mathit{\boldsymbol{I}}}\!_{ML}}$的第l列。IAA-R的具体迭代过程类似于前面的IAA，这里不再赘述。

针对静止目标，IAA和IAA-R在快拍数据比较少的情况下，特别是在单次快拍时，相比DAS估计，IAA和IAA-R能获得较好的目标估计和有效的旁瓣压缩。但在真实的目标位置附近，IAA和IAA-R还是获得了一些虚假目标。针对该问题，下面给出了一种基于q范数的多维参数估计。

3.2 基于稀疏迭代的加权q范数最小化方法

基于稀疏迭代的加权q范数最小化方法解决如下的目标函数：

其中，μ是一个正数，$0 < q \le 1$, D=PK, $\left\{ {{w_i} > 0} \right\}_{i = 1}^D$是一组加权，${\left\{ \cdot \right\}^{(l -1)}}$表示第(l-1)次迭代。当q=1时，式(26)就是重复加权l₁范数最小化方法^[16]。该方法利用稀疏迭代估计目标参数，其过程如下所示：

首先，对于优化问题式(26)，参数a通过复数求导得到。求导式(26)中的目标函数，并置参数a的复数导数为零，可得

其中，

于是求解式(27)，可得参数α的估计值为：

其中，I_ML表示单位向量。观测式(29)可知，估计项$\widehat {\mathit{\boldsymbol{α}}}$包含未知的加权项$\left\{ {w_i^{(l -1)}} \right\}$。由于$\left\{ {w_i^{(l -1)}} \right\}$是未知的，故应用迭代方法求解目标参数。假设在已知$\left\{ {w_i^{(l -1)}} \right\}$的条件下，式(29)可以求解。

其次，在获得$\widehat {\mathit{\boldsymbol{α}}}$的情况下，迭代中的加权值$\left\{ {w_i^{(l)}} \right\}$与前一次迭代得到的估计值$\widehat {\mathit{\boldsymbol{α}}}$有关，其具体表示如式(30)所示。

提出的方法利用DAS估计做为目标参数的初始化估计，通过迭代方法改进DAS估计，以获得更高的分辨率。具体步骤如下：

Step 1  初始化：迭代次数l=1，目标参数为式(23)；

Step 2  计算加权和μ，其分别表示如下：

其中，ε₂是一个正数，其目的是确保${\bf{ \pmb{\mathsf{\widehat α}} }}$中的0值部分不出现在下一次迭代中。

Step 3  利用式(29)更新目标参数；

Step 4  迭代Step 2和Step 3，直到一定的迭代次数。

本方法求得了未知量的数学表达式，并通过多次迭代求解，提供了更加精确的估计，故不需借助内点法(如凸优化软件CVX等)求解；文献[17]证明在没有噪声的情况下，l_q范数代替l₁范数时利用更少的测量便可重建信号。后面的仿真中证明，在有噪声的情况下，迭代加权的l_q范数方法用更少迭代，也能够获得更加精确的估计。

4 仿真与分析

本小节通过仿真实验验证提出方法的性能。在仿真中，考虑频控阵MIMO雷达系统的发射天线和接收天线数分别为N=M=12，天线阵列按均匀线阵布置，且收发天线间隔为半波长。发射信号选用加权CAN序列^[18]，序列长度L=32，接收快拍数为1。载频频率f₀=10 GHz，频率增量Δf=3 MHz。感兴趣的目标${\alpha _{p, k}}$位于距离-角度平面$({r_p}, {\theta _k})$(其中${r_p} \in \left[ {0,100\;{\rm{m}}} \right],{\rm{ }}{\theta _k} \in \left[ { - {{30}^ \circ },{{30}^ \circ }} \right]$)。噪声选用均值为零，方差为${\sigma ^2}$的圆对称、独立同分布的加性复高斯噪声，SNR=20 dB。

考虑4个目标位于不同距离和角度位置，具体参数为：${r_1} = 30 \; {\rm{m}}, \; {\theta _1} = {0^\circ}$; ${r_2} = 50\; {\rm{m}}, {\theta _2} = {20^\circ}$; ${r_3} = 50\; {\rm{m}}, {\theta _3} = {\rm{ -}}10^\circ $; ${r_4} = 80\; {\rm{m}}, {\theta _4} = {0^\circ }$。目标1和目标2的幅度为5，目标3和目标4的幅度为10。如图 1所示，给出了4个目标使用不同方法得到估计的幅度、距离与角度关系，其中图 1(a)－图 1(c)分别是由IAA, IAA-R和本文提出的方法获得。由图 1(a)和图 1(b)可知，相比IAA估计，IAA-R具有较好的距离和角度估计，但IAA和IAA-R都在真实的目标位置附近获得了很多虚假目标，也没能准确地估计到目标幅度。在图 1(c)仿真中，本文提出的方法选取的迭代次数为8, q=0.3。由图 1(c)可知，本文提出的方法除了获得了4个目标准确的距离和角度信息外，也获得了目标的幅度信息。

考虑21个目标位于不同距离和角度的估计。图 2显示了不同方法的距离和角度估计结果，其中，图 2(a)显示了真实目标的距离和角度的位置信息，所有目标的幅度为10；图 2(b)－图 2(d)分别显示了DAS, IAA和IAA-R的估计结果。IAA和IAA-R的迭代次数为100次。由仿真结果可知，IAA和IAA-R估计性能要优于DAS估计，IAA-R估计性能要优于IAA；对比IAA和IAA-R，目标位于-20 时估计性能要优于其它目标位置，但都在真实的目标位置附近获得了虚假目标，也没能准确地估计到目标幅度。图 2(e)和图 2(f)分别显示了本文提出的方法经过20次迭代后得到的3维和2维(距离和角度)仿真结果，其中，q=0.8。如图显示，本文提出的方法除了获得了21个目标准确的距离和角度信息外，也获得了目标的幅度信息。

图 3显示了本文提出的方法在不同信噪比情况下，获得精确的目标估计结果时不同q值与迭代次数之间的关系图。由图 3可知，在获得精确的目标估计结果时，本文提出的方法随着q值增加，相应地迭代次数也增加。当SNR=20 dB时，q=0.1时获得精确的目标估计时所需迭代次数为7，比q=0.9时所需迭代次数28次减少了1/4。这也证明了文献[17]中提到的l_q范数代替l₁范数时，可以利用更少的迭代便可重建信号。

5 结论

本文给出了一种窄带频控阵MIMO雷达系统的模型，提出了将稀疏迭代的方法应用到频控阵MIMO雷达中，利用频控阵的发射导向矢量的距离和角度依赖性，结合稀疏迭代方法，在接收端通过单次快拍有效估计到目标的距离、角度以及幅度信息。结果表明，相比DAS估计、IAA和IAA-R，本文提出的方法除了获得了多个目标准确的距离和角度信息外，也获得了所有的目标幅度信息。