1 引言

在雷达系统中，可以利用步进频信号获得合成距离高分辨^[1]。步进频信号具有瞬时带宽低、合成带宽高的特点，因此，步进频信号避免了高速A/D采样和宽带接收等问题，降低了对硬件系统的要求和雷达系统的实现难度^[2]，是一种较为经济实用的高分辨信号形式。

步进频信号对目标的径向运动非常敏感^{[3, 4]}。目标的径向运动会使合成距离像产生位置移动和发散，位置移动会引起测距偏差，发散会引起信噪比损失和分辨率降低。由于距离像的发散程度与单帧脉冲串的时间成正比，因此，在不影响雷达其它性能的情况下，可以通过提高PRF^[5]或者减少子脉冲个数^[6]的方法抑制发散，但当雷达和目标径向之间存在高速运动时，这种方法的抑制效果有限，难以满足需求。文献^{[3, 7-14]}提出了一系列步进频信号运动补偿方法，这些方法可简单归结为两类：一类只对目标速度进行补偿，并没有考虑加速度的影响；另一类利用两帧或多帧脉冲串对目标速度和加速度同时进行补偿，数据率降低，增加了回波起伏特性和距离徙动对步进频雷达的影响。

当雷达和目标径向之间存在高速运动时，由于雷达和目标之间视角的影响，雷达和目标的径向上通常会产生较大的加速度分量，在步进频信号处理时必须考虑加速度的影响。为了不降低步进频雷达的数据率，需要采用一种基于单帧步进频脉冲串的对速度和加速度同时补偿的算法。目标运动会导致合成距离像聚焦效果变差，因此，可以将ISAR成像中的图像聚焦质量因子^{[4, 15-17]}作为评价函数对速度和加速度进行遍历搜索，通过搜索评价函数的最优值实现运动补偿，而且这类方法只需要一帧脉冲串即可实现。文献^{[4, 15, 16]}将对比度作为评价函数，但对比度在速度-加速度空间内的代价面存在起伏现象，严重影响了算法的效率。为此，本文深入研究了基于对比度的步进频运动补偿方法，并对算法效率进行了提升。

本文首先从步进频信号回波模型出发，详细分析了目标运动对合成高分辨距离像的影响；其次，介绍了基于对比度的步进频信号运动补偿算法，并指出了其中的不足；最后，提出了一种改进的基于对比度的运动补偿算法，大大提高了算法效率，通过公式推导证明了新方法可以消除由散射点群位置移动造成的对比度起伏现象，并通过MATLAB仿真给出了不同场景、不同信噪比下的补偿性能，验证了本文方法的有效性。

2 步进频信号合成距离像原理 2.1 回波模型及处理方法

一帧步进频发射信号可以表示为：

$u\left( t \right)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{p\left( t-n{{T}_{\text{r}}} \right)}\exp \left[ \text{j}2\text{ }\!\!π\!\!\text{ }\left( {{f}_{0}}+n\Delta f \right)t \right]\text{ }$

(1)

式(1)中，t表示时间，n表示子脉冲序号，N表示一帧步进频信号中的子脉冲个数，T_r表示脉冲重复时间，f₀表示载频起始频率，△f 表示频率步进量，p(t)表示基带信号。

假设目标有K个散射点，则第n个子脉冲的总回波在混频后可以表示为：

$\begin{array}{*{35}{l}} {{s}_{n}}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{K}{{{A}_{i}}}p\left[ t-n{{T}_{\text{r}}}-{{\tau }_{i}}\left( t \right) \right] \\ \qquad \quad \cdot \exp \left[ -\text{j}2\text{ }\!\!π\!\!\text{ }\left( {{f}_{0}}+n\Delta f \right){{\tau }_{i}}\left( t \right) \right] \\ \end{array}$

(2)

式(2)中，A_i表示第i个散射点的回波强度；${{\tau }_{i}}\left( t \right)=2{{R}_{i}}\left( t \right)/c$表示第i个散射点在t时刻的回波延迟，其中R_i(t)表示第i个散射点在t时刻相对于雷达的径向距离。在一帧时间内，R_i(t)可用二阶泰勒多项式近似表示为：

${R_i}\left( t \right) \cong {R_i}\left( 0 \right) + {v_{\rm r}}t + \frac{1}{2}{a_{\rm r}}{t^2}$

(3)

令$t = n{T_{\rm r}} + t'$，其中，nT_r称为慢时间，$t'$称为快时间。因为回波复数包络在时间轴上的长度变化通常可以忽略不计，即满足${\tau _i}\left( t \right) \simeq {\tau _i}\left( {n{T_{\text{r}}}} \right)$，所以式(2)可改写为：

$\begin{array}{l} {s_n}\left( t \right) = {s_{\rm R}}\left( {t',n{T_{\rm r}}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^K {{A_i}} p\left[{t' - {\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}}} \right)} \right]\\ \quad\quad\quad\quad\!\! \cdot \exp \left[{ - {\text{j}}2\text{π} \left( {{f_0} + n\Delta f} \right){\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}} + t'} \right)} \right] \end{array}$

(4)

将式(3)代入式(4)得

$\begin{align} & {{s}_{\text{R}}}\left( {t}',n{{T}_{\text{r}}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{K}{{{A}_{i}}}p\left[ {t}'-{{\tau }_{i}}\left( n{{T}_{\text{r}}} \right) \right] \\ & \quad \quad \quad \quad \cdot \exp \left\{ -\text{j}2π \left( {{\text{f}}_{\text{0}}}\text{+n}\Delta \text{f} \right)\left[ {{\tau }_{i}}\left( n{{T}_{\text{r}}} \right) \right. \right. \\ & \quad \quad \quad \quad \left. \left. +\frac{2{{v}_{\text{r}}}{t}'+2{{a}_{\text{r}}}n{{T}_{\text{r}}}{t}'+{{a}_{\text{r}}}{{{{t}'}}^{2}}}{\text{c}} \right] \right\} \\ \end{align}$

(5)

式(5)中，含有${{a}_{\text{r}}}{{{{t}'}}^{2}}$的相位项会引起脉内调频斜率的微小变化，可忽略不计，故式(5)可简化为：

$\begin{array}{l} {s_{\text{R}}}\left( {t',n{T_{\rm r}}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^K {{A_i}} p\left[{t' - {\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}}} \right)} \right]\exp \left( {{\text{j}}2\text{π} {f_{\text{dn}}}t'} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad\!\! \cdot\exp \left[{ - {\text{j}}2\text{π} \left( {{f_0} + n\Delta f} \right){\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}}} \right)} \right] \end{array}$

(6)

式(6)中，${{f}_{\text{dn}}}=-2\left( {{v}_{\text{r}}}+{{a}_{\text{r}}}n{{T}_{\text{r}}} \right)\left( {{f}_{0}}+n\Delta f \right)/\text{c}$表示速度和加速度引起的脉内多普勒。当p(t)为简单脉冲，即$p\left( t \right)=\text{rect}\left( t\text{/}{{T}_{1}} \right)$时，式(6)可化为：

$\begin{array}{l} {s_{\text{R}}}\left( {t',n{T_{\rm r}}} \right) \!=\! \sum\limits_{i = 1}^K {{A_i}} {\mathop{\rm rect}\nolimits} \left[{t' \!-\! {\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}}} \right)} \right]\exp \left( {{\text{j}}2\text{π} {f_{\text{dn}}}t'} \right)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad\!\!\!\! \cdot\exp \left[{ - {\text{j}}2\text{π} \left( {{f_0} + n\Delta f} \right){\tau _i}\left( {n{T_{\rm r}}} \right)} \right] \end{array}$

(7)

当目标为静止的理想单散射点时，对式(7)中各子脉冲回波进行离散采样，并对N个采样点进行IFFT，便可得到目标的无畸变的1维高分辨距离像，距离像的表达式具有式(8)形式：

$h\left( k \right)=\left| \frac{\sin \left[ π \left( \text{k-}{{\text{l}}_{\text{0}}} \right) \right]}{\sin \left[ π \left( \text{k-}{{\text{l}}_{\text{0}}} \right)\text{ /}N \right]} \right|$

(8)

式(8)中，${l_0} = N\Delta f{\tau _i}\left( 0 \right)$。合成距离像的距离分辨率为$\text{c}/\left( 2N\Delta f \right)$,IFFT运算对应的无模糊高分辨测距范围为$c/\left( 2\Delta f \right)$。

2.2 目标运动对合成距离像的影响

目标运动对子脉冲回波复数包络的影响通常可忽略不计。目标运动会使脉间相位产生额外相位项，可表示为：

$\left. \begin{array}{l} {\varphi _{v1}} = - \frac{{4\text{π} }}{\text{c}}{f_0}{v_{\rm r}}{T_{\rm r}}n\\ {\varphi _{v2}} = - \frac{{4\text{π} }}{\text{c}}\Delta f{v_{\rm r}}{T_{\rm r}}{n^2}\\ {\varphi _{a2}} = - \frac{{2\text{π} }}{\text{c}}{f_0}{a_{\rm r}}{T_{\rm r}}^2{n^2}\\ {\varphi _{a3}} = - \frac{{2\text{π} }}{\text{c}}{a_{\rm r}}\Delta f{T_{\rm r}}^2{n^3} \end{array} \right\}$

(9)

式(9)中，${\varphi _{v1}}$和${\varphi _{v2}}$分别表示径向速度产生的一次、二次相位项，${\varphi _{a2}}$和${\varphi _{a3}}$分别表示径向加速度产生的二次、三次相位项。四者均会使距离像产生位置移动，称为耦合时移，耦合时移的大小分别为：

$\begin{array}{*{35}{l}} \Delta {{R}_{v1}}=v\left( {{f}_{0}}\text{ /}\Delta f \right){{T}_{\text{r}}} \\ \Delta {{R}_{v2}}=v\left( N-1 \right){{T}_{\text{r}}} \\ \Delta {{R}_{a2}}={{f}_{0}}a\left( N-1 \right){{T}_{\text{r}}}^{2}/\left( 2\Delta f \right) \\ \Delta {{R}_{a3}}=3a{{\left( N-1 \right)}^{2}}{{T}_{\text{r}}}^{2}/4 \\ \end{array}$

(10)

通常情况下，$\Delta {R_{v1}}$远大于$\Delta {R_{v2}}$,$\Delta {R_{a2}}$和$\Delta {R_{a3}}$。${\varphi _{v2}}$和${\varphi _{a2}}$还会使距离像产生对称性发散，${\varphi _{a3}}$会使距离像产生非对称性发散，发散会引起信噪比损失和分辨率降低。

当△R_v1不超过半个高分辨距离单元，${\varphi _{v2}}$,${\varphi _{a2}}$和${\varphi _{a3}}$分别引入的最大相位误差均小于${\text{π} \mathord{\left/ {\vphantom {\text{π} 2}} \right.} 2}$时，目标运动对合成距离像的影响可以忽略^[4]，相应的运动参数补偿精度要求分别为^[14]：

$\begin{array}{*{35}{l}} \left| \Delta {{v}_{1}} \right| & ＜c/\left( 4{{f}_{0}}N{{T}_{\text{r}}} \right) \\ \left| \Delta {{v}_{2}} \right| & ＜c/\left[ 8{{\left( N-1 \right)}^{2}}\Delta f{{T}_{\text{r}}} \right] \\ \left| \Delta {{a}_{2}} \right| & ＜c/\left[ 4{{\left( N-1 \right)}^{2}}{{f}_{0}}{{T}_{\text{r}}}^{2} \right] \\ \left| \Delta {{a}_{3}} \right| & ＜c/\left[ 4{{\left( N-1 \right)}^{3}}\Delta f{{T}_{\text{r}}}^{2} \right] \\ \end{array}$

(11)

通常情况下，$\left| {\Delta {v_1}} \right| \ll \left| {\Delta {v_2}} \right|$,$\left| {\Delta {a_2}} \right| \ll \left| {\Delta {a_3}} \right|$,$\left| {\Delta {v_2}} \right|$和$\left| {\Delta {a_2}} \right|$为同一量级。因此，补偿耦合时移要比抑制距离像发散困难得多。实际中，步进频雷达对运动参数的补偿精度要求要比式(11)给出的约束宽松得多。这是因为距离像的位置移动并不影响对非协作目标的识别能力^[17]、探测能力和距离分辨率，因此，步进频成像雷达通常更偏重于抑制距离像的发散，而非消除耦合时移。其实即便是为了抑制距离像发散，步进频雷达对运动参数的补偿精度要求也要比式(11)给出的$\left| {\Delta {v_2}} \right|$和$\left| {\Delta {a_2}} \right|$宽松，这是因为当${\varphi _{v2}}$和${\varphi _{a2}}$稍大于${\text{π} \mathord{\left/{\vphantom {\text{π} 2}} \right.} 2}$时，也很难从视觉上看出距离像的发散效果。例如，如果要求${\varphi _{v2}}$引起的合成距离像峰值损失小于3 dB，则要求速度补偿精度为$\left| \Delta v \right|＜\left( 7c \right)/\left( 8{{N}^{2}}\Delta f{{T}_{\text{r}}} \right)$^[2]。比较$\left| {\Delta v} \right|$和$\left| {\Delta {v_2}} \right|$可知，$\left| {\Delta v} \right| \simeq 7\left| {\Delta {v_2}} \right|$，因此，式(11)给出的运动参数补偿精度要求是比较紧的约束。

估计出目标的运动参数后，对目标回波进行脉间相位补偿，再沿$\left( {n\Delta f} \right)$进行IFFT，便可得到补偿后的合成距离像。

3 基于对比度的运动补偿算法

对目标所在区域的基带回波进行等间隔采样，得到回波响应矩阵：

${\text{P}} = \left( \begin{array}{l} \;\;\;\;\tilde x\left( {0,0} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde x\left( {0,1} \right)\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\tilde x\left( {0,M - 1} \right)\\ \;\;\;\;\tilde x\left( {1,0} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde x\left( {1,1} \right)\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\tilde x\left( {1,M - 1} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ddots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ \tilde x\left( {N - 1,0} \right)\;\;\;\tilde x\left( {N - 1,1} \right)\;\;\; \cdots \;\;\;\tilde x\left( {N - 1,M - 1} \right) \end{array} \right)$

(12)

式(12)中，$\tilde{x}\left( n,m \right)={{s}_{\text{R}}}\left[ \left( L+m \right)/{{f}_{\text{s}}},n{{T}_{\text{r}}} \right]$，其中L为常数，f_s为复基带采样率，$L/{{f}_{\text{s}}}$表示$\tilde x\left( {n,0} \right)$对应的快时间采样时刻，${s_{\text{R}}}\left( {t',n{T_{\rm r}}} \right)$的表达式如式(7)所示。对回波响应矩阵P进行运动补偿，并沿各列进行${N_{\rm r}}\left( {{N_{\rm r}} = N} \right)$点IFFT，得到高分辨距离像矩阵：

${\text{H}} = \left( \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\tilde I\left( {0,0} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde I\left( {0,1} \right)\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\tilde I\left( {0,M - 1} \right)\\ \;\;\;\;\;\tilde I\left( {1,0} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde I\left( {1,1} \right)\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\tilde I\left( {1,M - 1} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ddots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ \tilde I\left( {{N_{\rm r}} - 1,0} \right)\;\;\;\tilde I\left( {{N_{\rm r}} - 1,1} \right)\;\;\; \cdots \;\;\;\;\tilde I\left( {{N_{\rm r}} - 1,M - 1} \right) \end{array} \right)$

(13)

步进频高分辨距离像矩阵H的对比度定义为：

$\begin{align} & C\left( v,a \right)=\sqrt{\frac{1}{M{{N}_{\text{r}}}}\sum\limits_{m=0}^{M-1}{\sum\limits_{k=0}^{{{N}_{\text{r}}}-1}{{{\left( {{\left| \tilde{I}\left( k,m \right) \right|}^{2}}-\frac{1}{M{{N}_{\text{r}}}}\sum\limits_{m=0}^{M-1}{\sum\limits_{k=0}^{{{N}_{\text{r}}}-1}{{{\left| \tilde{I}\left( k,m \right) \right|}^{2}}}} \right)}^{2}}}}}/ \\ & \left( \frac{1}{M{{N}_{\text{r}}}}\sum\limits_{m=0}^{M-1}{\sum\limits_{k=0}^{{{N}_{\text{r}}}-1}{{{\left| \tilde{I}\left( k,m \right) \right|}^{2}}}} \right) \\ \end{align}$

(14)

基于对比度的步进频雷达运动补偿算法的步骤如下：

步骤1 在速度-加速度平面内进行2维搜索，利用式(15)通过使对比度最大化得到速度和加速度的估计值$\left( {\hat v,\hat a} \right)$。

$\left( {\hat v,\hat a} \right) = {\mathop{\rm argument}\nolimits} \left[{\mathop {\max }\limits_{v,a} C\left( {v,a} \right)} \right]$

(15)

步骤2 利用$\left( {\hat v,\hat a} \right)$对目标回波进行运动补偿，再对补偿后的回波进行成像。

设目标与雷达之间的径向速度为v_r=-1000 m/s，径向加速度为a_r=-50 m/s²，雷达系统参数如表 1所示，图 1给出了利用N_r=N点IFFT合成距离像时理想单散射点目标的对比度代价面。

从图 1可以看出，对比度在真实运动参数附近取得全局最大值，因此，通过搜索对比度最大值估计目标的运动参数是合理的。但同时又注意到，对比度代价面出现剧烈起伏，存在许多局部极大值点，且起伏特性随搜索速度变化要比随搜索加速度变化显著得多。对比度代价面之所以出现起伏，是因为对比度不仅与距离像的发散程度有关，也与距离像的位置有关。由式(10)可知，运动参数补偿误差会使距离像位置产生移动，从而造成对比度代价面在速度-加速度空间内剧烈起伏。

代价面起伏问题通常难以保证寻优算法的收敛性，而且要求有较好的初始搜索值^[17]。文献^[4]以较小的固定间隔对速度-加速度空间上的所有可能位置进行遍历搜索，不存在寻优算法的收敛性问题，但运算量巨大，不利于工程应用。

4 改进的基于对比度的运动补偿算法 4.1 散射点群位置对对比度影响的消除

散射点群位置的移动等效为目标回波沿慢时间乘以一个一次相位项，由Parseval定理知，式(14)中$\sum\nolimits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( {k,m} \right)} \right|}^2}} } $为常数。根据式(14)，群位置对对比度的影响表现为群位置对$\sum\nolimits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( {k,m} \right)} \right|}^4}} }$的影响。为方便公式推导，令$x\left( n \right)$表示某一个粗采样单元上的目标回波，$W_N^{\alpha n}$($\alpha $为实数)为群位置移动产生的一次相位项，则群位置移动后的目标回波可表示为：

$\tilde x\left( n \right) = x\left( n \right)W_N^{\alpha n},\,\,\ 0 \le n \le N - 1$

(16)

设$\tilde I\left( k \right)$为$\tilde x\left( n \right)$的N_r(N_r≥N)点IDFT,${\tilde I_2}\left( k \right) = $ $ {\tilde I^*}\left( k \right)\tilde I\left( k \right) = {\left| {\tilde I\left( k \right)} \right|^2}$，且${\tilde I_2}\left( k \right)$为${\tilde x_2}\left( n \right)$的IDFT，则根据DFT的圆周相关定理和DFT与IDFT的关系，可得${\tilde x_2}\left( n \right)$的表达式为：

${\tilde x_2}\left( n \right) = \frac{1}{{{N_{\rm r}}}}\sum\limits_{l = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\tilde x}^*}\left( l \right)\tilde x{{\left( {\left( {l + n} \right)} \right)}_{{N_{\rm r}}}}{R_{{N_{\rm r}}}}\left( n \right)} $

(17)

将式(16)代入式(17)，并求模，可得：

(1) 当${N_{\rm r}} \ge 2N - 1$时，$\left| {{{\tilde x}_2}\left( n \right)} \right|$可化为：

$\left| {{{\tilde x}_2}\left( n \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{{N_{\rm r}}}}\left| {\sum\limits_{l = 0}^{N - 1 - n} {{x^*}\left( l \right)x\left( {l + n} \right)} } \right|,\quad \quad \quad \quad \quad \!\!\!\!0 \le n \le N - 1\\ 0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \!\!N \le n \le {N_{\rm r}} - N\\ \frac{1}{{{N_{\rm r}}}}\left| {\sum\limits_{l = {N_{\rm r}} - n}^{N - 1} {{x^*}\left( l \right)x\left( {l + n - {N_{\rm r}}} \right)} } \right|,\quad \quad {N_{\rm r}} - N + 1 \le n \le {N_{\rm r}} - 1 \end{array} \right.$

(18)

(2) 当$N \le {N_{\rm r}} \le 2N - 2$时，${\tilde x_2}\left( n \right)$可化为：

$\left| {{{\tilde{x}}}_{2}}\left( n \right) \right|=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{{{N}_{\text{r}}}}\left| \sum\limits_{l=0}^{N-1-n}{{{x}^{*}}\left( l \right)}x\left( l+n \right) \right|,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0\le n\le {{N}_{\text{r}}}-N \\ \frac{1}{{{N}_{\text{r}}}}\left| \begin{align} & \sum\limits_{l=0}^{N-1-n}{{{x}^{*}}\left( l \right)x\left( l+n \right)}+ \\ & \sum\limits_{l={{N}_{\text{r}}}-n}^{N-1}{{{x}^{*}}\left( l \right)x\left( l+n-{{N}_{\text{r}}} \right)W_{N}^{-\alpha {{N}_{\text{r}}}}} \\ \end{align} \right|,{{N}_{\text{r}}}-N+1\le n\le N-1 \\ \frac{1}{{{N}_{\text{r}}}}\left| \sum\limits_{l={{N}_{\text{r}}}-n}^{N-1}{{{x}^{*}}\left( l \right)x\left( l+n-{{N}_{\text{r}}} \right)} \right|,\quad \quad \quad \quad \quad \quad N\le n\le {{N}_{\text{r}}}-1 \\ \end{array} \right.$

(19)

由Parseval定理可知，${N_{\rm r}}\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( k \right)} \right|}^4}} = $$ {N_{\rm r}}\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {{{\tilde I}_2}\left( k \right)} \right|}^2}{\rm{ = }}\sum\nolimits_{n = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {{{\tilde x}_2}\left( n \right)} \right|}^2}} } $，所以根据式(18)至式(19)，可以得出如下结论：

(1) 当${N_{\rm r}} \ge 2N - 1$时，$\left| {{{\tilde x}_2}\left( n \right)} \right|$与$\alpha$无关，从而推出$\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( k \right)} \right|}^4}} $与$\alpha$无关，由此进一步推出式(14)中$\sum\nolimits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( {k,m} \right)} \right|}^4}} }$与$\alpha$无关，所以对比度与散射点群位置无关。

(2) 当$N \le {N_{\rm r}} \le 2N - 2$时，$\left| {{{\tilde x}_2}\left( n \right)} \right|$与$\alpha$有关，从而推出$\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( k \right)} \right|}^4}} $与$\alpha$有关，由此进一步推出式(14)中$\sum\nolimits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\nolimits_{k = 0}^{{N_{\rm r}} - 1} {{{\left| {\tilde I\left( {k,m} \right)} \right|}^4}} }$与$\alpha$有关，所以散射点群位置的变化会引起对比度起伏。

图 2给出了利用${N_{\rm r}} = 2N$点IFFT合成距离像时理想单散射点目标的对比度代价面，可以看出，图 2完全消除了对比度起伏现象，对比度的代价面在速度-加速度空间内表现为光滑的曲面，对比度沿$v = {v_{\rm r}}$的切面和沿$a = {a_{\rm r}}$的切面均表现为凸函数。对比度起伏现象的消除将有助于提高补偿算法的效率，从而增强算法的实用性。

4.2 对比度代价面的性质分析

由于脉间一次相位项对对比度无影响，故只需考虑二次相位项和三次相位项。运动补偿后第n个子脉冲的目标回波的二次相位和三次相位之和可表示为：

$\begin{align} & \Delta \phi \left( n{{T}_{\text{r}}},v,a \right)=\frac{2π }{\text{c}}{{T}_{\text{r}}}\left[ 2\Delta f\left( v-{{v}_{\text{r}}} \right)+{{f}_{0}}{{T}_{\text{r}}}\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right) \right]{{n}^{2}} \\ & \text{ }+\frac{2π }{\text{c}}\Delta f{{T}_{\text{r}}}^{2}\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right){{n}^{3}}n \\ \end{align}$

(20)

式(20)中，v和a分别表示补偿速度和补偿加速度。$\Delta \phi \left( {n{T_{\rm r}},v,a} \right)$可以看成连续时间函数$\Delta \phi \left( {t,v,a} \right)$在$t = n{T_{\rm r}}$时刻的采样值，$\Delta \phi \left( {t,v,a} \right)$的表达式为：

$\begin{align} & \Delta \phi \left( t,v,a \right)=\frac{2π }{\text{c}{{T}_{\text{r}}}}\left[ 2\Delta f\left( v-{{v}_{\text{r}}} \right)+{{f}_{0}}{{T}_{\text{r}}}\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right) \right]{{t}^{2}} \\ & \text{ }+\frac{2π }{\text{c}{{T}_{\text{r}}}}\Delta f\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right){{t}^{3}},t\in \left[ 0 \right.,\left. \left( N-1 \right){{T}_{\text{r}}} \right]\text{ } \\ \end{align}$

(21)

对$\Delta \phi \left( {t,v,a} \right)$关于t求导，可得t时刻的瞬时频率为：

${f_{\Delta \phi }}\left( {t,v,a} \right) = \frac{1}{{2\text{π} }}\frac{{{\rm d}\left[{\Delta \phi \left( {t,v,a} \right)} \right]}}{{{\rm d}t}} = {\beta _1}{t^2} + {\beta _2}t$

(22)

式(22)中，${\beta _1}$,${\beta _2}$的值分别为：

$\begin{align} & {{\beta }_{1}}=\frac{3\Delta f\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right)}{\text{c}{{T}_{\text{r}}}}, \\ & {{\beta }_{2}}=\frac{4\Delta f\left( v-{{v}_{\text{r}}} \right)+2{{f}_{0}}{{T}_{\text{r}}}\left( a-{{a}_{\text{r}}} \right)}{\text{c}{{T}_{\text{r}}}} \\ \end{align}$

(23)

设$\delta f\left( {v,a} \right)$表示${f_{\Delta \phi }}\left( {t,v,a} \right)$在一帧步进频脉冲串内的频率变化量，那么

$\delta f\left( {v,a} \right) = \mathop {\max }\limits_t \left[{{f_{\Delta \phi }}\left( {t,v,a} \right)} \right] - \mathop {\min }\limits_t \left[{{f_{\Delta \phi }}\left( {t,v,a} \right)} \right]$

(24)

由式(22)和式(23)可知，对于一个固定的$a\left( {a \ne {a_{\rm r}}} \right)$,$\delta f\left( {v,a} \right)$是v的凹函数，并且当下式成立时，$\delta f\left( {v,a} \right)$将取得最小值。

$\left. \begin{array}{l} - \frac{{{\beta _2}}}{{2{\beta _1}}} = \frac{{\left( {N - 1} \right){T_{\rm r}}}}{2},\ a \ne {a_{\rm r}}\\ v = {v_{\rm r}},\,\,a = {a_{\rm r}} \end{array} \right\}$

(25)

将式(23)代入式(25)得

$v = - \frac{{\left[{2{f_0} + 3\left( {N - 1} \right)\Delta f} \right]{T_{\rm r}}}}{{4\Delta f}}\left( {a - {a_{\rm r}}} \right) + {v_{\rm r}}$

(26)

则此时对应的$\delta f\left( {v,a} \right)$的最小值为：

$\begin{array}{*{35}{l}} \delta {{f}_{\min }}\left( a \right)=\underset{v}{\mathop{\min }}\,\left[ \delta f\left( v,a \right) \right] \\ \quad \quad \quad \quad =\left| {{f}_{\Delta \phi }}\left( \left( N-1 \right){{T}_{\text{r}}}/2,v,a \right)-{{f}_{\Delta \phi }}\left( 0,v,a \right) \right| \\ \end{array}$

(27)

将式(22)，式(23)和式(26)代入式(27)得

$\delta {f_{\min }}\left( a \right) = \left| {\frac{{3{{\left( {N - 1} \right)}^2}\Delta f{T_{\rm r}}\left( {a - {a_{\rm r}}} \right)}}{{4{\rm c}}}} \right|$

(28)

由式(28)知，$\delta {f_{\min }}\left( a \right)$在式(26)所示的直线上表现为凹函数，并且在$\left( {{v_{\rm r}},{a_{\rm r}}} \right)$处取得全局最小值$\delta {f_{\min }}\left( {{a_{\rm r}}} \right) = 0$。

对于理想的单散射点，对比度与$\delta f\left( {v,a} \right)$的变化完全一致，即$\delta f\left( {v,a} \right)$越小，对比度越大，故对比度将在速度-加速度空间内沿式(26)确定的直线取得最大值，并在真实运动参数处取得全局最大值。

为了分析目标特性对对比度的影响，对表 2所列出的4种场景下的目标进行仿真，雷达系统参数如表 1所示。

图 3给出了4种场景下的对比度代价面在速度-加速度面上的投影，对比度越大，投影越亮。可以看出，4种场景下的对比度代价面投影均出现一个光亮的条带，各条带的形状和斜率也基本一致，这与式(26)相对应；条带内部亮度变化不明显，这与式(28)相对应。

为了定量分析目标特性对对比度的影响，通过MATLAB仿真得到4种场景下目标的对比度代价面内由对比度峰值确定的直线表达式：

$\left. \begin{array}{l} {L_{{\rm m}1}}:v = - 1.597926a - 1079.896285\\ {L_{{\rm m}2}}:v = - 1.600474a - 1079.989844\\ {L_{{\rm m}3}}:v = - 1.601744a - 1080.449445\\ {L_{{\rm m}4}}:v = - 1.594944a - 1079.073461 \end{array} \right\}$

(29)

根据表 1和表 2，式(26)确定的直线可表示为：

${L_{\rm m}}:v = - 1.597925a - 1079.896250$

(30)

比较式(29)和式(30)可知，目标特性会对由对比度峰值确定的直线表达式产生影响，但影响不大，特别是直线斜率几乎没有发生变化。

至此，对比度代价面的性质可总结如下：

(1) 在速度-加速度投影平面上存在一个条带，在条带内对比度取值较大且变化不明显，在条带外对比度取值较小。多散射点目标可能会引起条带的展宽，但条带的形状和斜率对目标特性并不敏感。

(2) 对比度峰值确定的直线包含在性质(1)所述的条带内。对于不同特性的目标，对比度峰值确定的直线斜率均可用式(26)给出的直线斜率近似表示。

4.3 一种高效的搜索对比度最大值位置的方法

在分析对比度代价面性质的基础上，本文提出一种高效的搜索对比度最大值位置的方法，将速度-加速度空间内的2维平面搜索问题简化为速度-加速度空间内的1维直线搜索问题，大大提高了搜索效率，降低了运算量。如图 4所示，该搜索方法的具体实现过程描述如下：

步骤1 根据先验知识(如目标类型、窄带跟踪信息等)设置搜索速度区间[VMIN,VMAX]和搜索加速度区间[AMIN,AMAX]。

步骤2 取a_ini$\in $[AMIN, AMAX]为初始化搜索加速度。设经过点[AMAX,VMAX]，且与式(26)表示的直线平行的直线为L₁；经过点(AMIN,VMIN)，且与直线L₁平行的直线为L₂。直线L₁与直线a=a_ini相交于点A(a_ini,vsmax)，直线L₂与直线a=a_ini相交于点B(a_ini,vsmin)。

步骤3 沿直线a=a_ini在速度区间[vsmin,vsmax]内搜索对比度最大值的位置，得到局部对比度最大值点C(a_ini,vl)。

步骤4 设经过点C(a_ini,vl)，且与直线L₁,L₂平行的直线为L₃。沿直线L₃在搜索加速度区间[AMIN,AMAX]内搜索对比度最大值的位置，得到点$D\left( {\hat a,\hat v} \right)$，则点D即为要求的全局对比度最大值点。

式(26)的推导过程表明，步骤2中a_ini的选取与真实径向加速度a_r无关；仿真结果亦表明，步骤2中a_ini的取值非常宽松，即使在|a_ini$- {a_{\rm{r}}}| > |\Delta {a_3}$|的情况下，该搜索方法依然可以保持良好的性能。由该搜索方法的具体实现过程可知，运算量主要集中在步骤3和步骤4，因为线性搜索和每次搜索所需要的相位补偿、IFFT以及对比度运算均需要在这里完成。由几何知识可知，步骤3中速度区间[vsmin,vsmax]的大小为一常数，与a_ini的取值无关，而步骤4中的搜索加速度区间[AMIN,AMAX]也固定不变，故步骤3和步骤4的运算量是稳定的。至此可以得出结论，该搜索方法的性能和运算量均与a_ini的取值无关，从而保证了该方法的稳定性和实用性。

4.4 算法运算量分析

本文用搜索次数表征算法的运算量。对于本文算法，因为消除了由散射点群位置变化引起的对比度起伏，故可先用较大的搜索间隔进行粗搜索，再用较小的间隔进行精确搜索。设式(26)确定的直线斜率为k_m，则vsmax-vsmin=k_m(AMIN-AMAX)+VMAX-VMIN。步骤3中，取较大搜索间隔为$\left| {\Delta {v_2}} \right|$，较小搜索间隔为$\left| {\Delta {v_1}} \right|$，则搜索次数为$\left( \text{vsmax-vsmin} \right)/\left| \Delta {{v}_{2}} \right|+2\left| \Delta {{v}_{2}} \right|/\left| \Delta {{v}_{1}} \right|$。步骤4中，取较大搜索间隔为$\left| {\Delta {a_2}} \right|$，较小搜索间隔为$\left| \Delta {{v}_{1}} \right|/\left| {{k}_{\text{m}}} \right|$，则搜索次数为$\left( \text{AMAX-AMIN} \right)/\left| \Delta {{a}_{2}} \right|+$$2\left| {{k}_{\text{m}}} \right|\left| \Delta {{a}_{2}} \right|/\left| \Delta {{v}_{1}} \right|$。因此，本文所提算法的总搜索次数为：

$\begin{align} & {{n}_{\text{s1}}}=\frac{{{k}_{\text{m}}}\left( \text{AMIN-AMAX} \right)+\left( \text{VMAX-VMIN} \right)}{\left| \Delta {{v}_{2}} \right|} \\ & \quad \quad +\frac{\left( \text{AMAX-AMIN} \right)}{\left| \Delta {{a}_{2}} \right|}+2\frac{\left( \left| \Delta {{v}_{2}} \right|\text{+}\left| {{k}_{\text{m}}} \right|\left| \Delta {{a}_{2}} \right| \right)}{\left| \Delta {{v}_{1}} \right|} \\ \end{align}$

(31)

传统算法以固定间隔在速度-加速度2维平面内进行遍历搜索，寻找对比度最大值位置，速度搜索间隔为$\left| {\Delta {v_1}} \right|$，加速度搜索间隔为$\left| {\Delta {a_2}} \right|$，故总搜索次数为：

${n_{\rm s2}} = \frac{{\left( {\rm VMAX - VMIN} \right)\left( {\rm AMAX - AMIN} \right)}}{{\left| {\Delta {v_1}} \right|\left| {\Delta {a_2}} \right|}}$

(32)

通常情况下，$\left| {\Delta {v_2}} \right| \gg \left| {\Delta {v_1}} \right|$,$\left| {\Delta {a_2}} \right| \gg \left| {\Delta {v_1}} \right|$,$\left| {\Delta {v_2}} \right|$和$\left| {\Delta {a_2}} \right|$为同一量级，$\left( {\rm VMAX - VMIN} \right) \gg \left| {\Delta {v_2}} \right|$,$\left( {\rm AMAX - AMIN} \right) \gg \left| {\Delta {a_2}} \right|$,$\left| {{k_{\rm m}}} \right|$和1相差不超过一个量级，因此满足${n_{{\rm s}1}} \ll {n_{{\rm s}2}}$。

5 仿真分析

仿真采用的雷达系统参数如表 1所示，目标参数如表 2所示，图 4中的参数设置为：VMIN=-1040 m/s,VMAX=-960 m/s,AMIN=-60 m/s²,AMAX=-40 m/s²。

将以上参数分别代入式(11)，式(26)，式(31)和式(32)，可得n_s1=414,n_s2=246743，本文算法效率相对传统算法提高了近600倍。

表 3给出了无背景噪声时4种场景下目标的运动参数估计误差。假设输入噪声为高斯白噪声，每种信噪比(利用IFFT合成距离像之前，目标最强散射点与噪声功率之比)运行1000次，图 5给出了4种场景下目标的运动参数估计误差随信噪比的变化关系。

由表 3和图 5可以看出，速度估计误差和加速度估计误差对目标特性和信噪比非常敏感，只有当无噪声且目标为理想的单散射点时，基于对比度的步进频雷达运动补偿算法才可以实现对速度和加速度的精确估计，否则不能进行精确估计。

为了更直观地观察基于对比度的步进频雷达运动补偿算法的性能，图 6比较了4种场景下利用真实参数和基于对比度的方法补偿后的1维距离像，每个场景又分为无噪声(SNR=+∞)和SNR=-5 dB两种情况。为了便于从视觉上对距离像形状进行比较，图 6中对由运动参数估计误差造成的耦合时移进行了补偿。

从图 6可以看出，在信噪比相同的情况下，两种补偿方法得到的距离像在峰值和副瓣处均吻合得很好，即便是对于吻合效果相对较差的场景3和场景4，两种补偿方法得到的距离像形状也基本一致。对于同一种补偿方法，不同信噪比下的距离像形状在峰值处一致性较好，但在副瓣处一致性无法保证，比如场景2中同一种补偿方法在不同信噪比下的距离像副瓣几乎看不出任何一致性。

基于对比度的步进频雷达运动补偿算法的性能可总结如下：

(1) 对于不同特性的目标，均能够抑制距离像的发散，基本保持目标距离像的固有形状，并且在低信噪比下依然适用。

(2) 实际工程中不能实现对速度和加速度的精确估计。其根本原因为运动目标回波的脉间相位中，速度产生的二次相位项和加速度产生的二次相位项存在耦合，且加速度产生的三次相位项通常很小，所以速度估计值和加速度估计值对目标特性和信噪比非常敏感，无法实现精确估计。

6 结论

步进频雷达合成距离像的对比度代价面存在剧烈起伏，严重限制了算法的效率。为此，本文提出了一种改进的基于对比度的运动补偿算法。通过公式推导证明了沿慢时间利用${N_{\rm{r}}}\left( {{N_{\rm{r}}} \ge 2N - 1} \right)$点IFFT合成距离像时，可消除由散射点群位置变化引起的对比度起伏。详细分析了对比度代价面的性质，并在此基础上提出了一种高效的搜索对比度最大值位置的方法，将速度-加速度空间内的2维平面搜索问题简化为1维直线搜索问题，大大提高了搜索效率。MATLAB仿真结果表明，对于不同特性的目标，新方法均能够抑制距离像的发散，基本保持目标距离像的固有形状，并且在低信噪比下依然适用，但不能对速度和加速度进行精确估计。需要说明的是，本文在进行建模分析时，假设了复杂目标的各散射点具有相同的径向速度和径向加速度，也未考虑目标在成像帧周期内的姿态变化对算法效果的影响。