地球同步轨道SAR(Geosynchronous Synthetic Aperture Radar,GEOSAR)是以地球同步卫星为平台的成像雷达。GEOSAR“站得高、看得远”，具有重访周期短、可视范围大等优点，可以克服现行低轨星载SAR的一些缺点。GEOSAR的概念是30多年前提出的^{[1, 2]}，近年来作为星载SAR的一个前沿研究方向受到关注，并有一批文献发表，涉及到GEOSAR的主要研究内容，如应用概念^{[3, 4, 5]}、系统体制^{[6, 7]}、分辨率分析^{[8, 9, 10]}、成像方法^{[11, 12, 13, 14]}、信号传播扰动补偿^{[15, 16, 17, 18]}等。

与传统的低轨星载SAR相比较，GEOSAR成像最根本的特点是合成孔径时间长。典型的大倾角、圆轨道GEOSAR采用正侧视成像模式，合成孔径时间可以达到约5 min的量级。若利用GEOSAR与地球的同步运动特性、再配合以2维天线波束指向控制，可以形成类似于光学“凝视”成像的观测模式，实现雷达对目标定点、持续性驻留成像观测，成像合成孔径时间则更长。

长合成孔径这一根本特点使得GEOSAR面临许多新问题，其中之一就是长合成孔径条件下卫星轨道摄动对成像的影响。目前的GEOSAR研究文献大多不涉及轨道摄动对成像影响的问题。少数文献如文献[19]面向大倾角、圆轨道GEOSAR卫星，针对轨道摄动使雷达回波产生附加的多普勒调制的影响途径，采用数值方法分析了地球非球形摄动、三体引力摄动和太阳光压摄动短周期项对成像的影响，给出3种轨道摄动对成像聚焦有影响的整体结论，但其分析过程局限于所采用的数值方法尚缺乏对各种摄动因素的深入分析。

本文在文献[19]工作的基础上，针对3种摄动之一的地球非球形引力中的扁率摄动，从GEOSAR星地几何特性和卫星轨道摄动原理出发提出近似分析方法，通过推导GEOSAR轨道根数受摄动所导致的雷达回波多普勒调频率和2次相位公式，对扁率摄动对GEOSAR成像聚焦的影响进行进一步分析。

GEOSAR卫星采用什么样的轨道，是一个有待深入研究的问题。但由卫星轨道动力学特性可知，在各种轨道的地球同步卫星之中，采用了大倾角、星下点轨迹为“8字形”的圆轨道卫星的运动速度和高度变化较小，多普勒带宽较大，有利于星载SAR的成像处理和应用。故与大多数GEOSAR文献一样，本文以大倾角、圆轨道的地球同步卫星作为分析对象。

为进行GEOSAR受地球扁率摄动影响的受摄分析，首先需要给出星地几何关系的描述。低轨星载SAR文献经常对成像过程所涉及的地球局部采用球模型近似^[20]。本文考虑到GEOSAR卫星轨道远高于低轨SAR这一更为有利的条件，也以球模型作为地球的整体近似。

考虑卫星星下点在地球表面的运动关系。在卫星圆轨道、地球球模型条件下，由卫星轨道面、地球赤道面和卫星星下点所处的子午面分别与地球球面相交，构成一个球面三角形NDS如图 1所示。

图 1(Fig.1)

图 1 GEOSAR星下点在地球表面构成的球面三角形 Fig. 1 Spherical triangle of GEOSAR nadirs on the Earth’s surface

图 1中，N为卫星轨道升交点、S为卫星星下点、D为卫星星下点本地子午线与地球赤道的交点，因此NDS为一球面直角三角形。若${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$是卫星星下点经纬度，i,Ω,α分别是卫星轨道倾角、升交点赤经、纬度幅角，设t为卫星运动的时间变量且以卫星过升交点时刻为零起始，$\omega$_s为卫星平均运动角速度、$\omega$_e为地球自转平均角速度，考虑到纬度幅角$\alpha = {ω_s}t$，根据图 1中的球面三角形边角关系，可以得到如下的星下点计算公式^[21]：

顺便指出，上述星下点经纬度指的是地心经纬度。在地球球模型假设条件下，地心经纬度与常用的大地经纬度相等。

GEOSAR星地几何关系则由图 2给出。其中，a为卫星轨道长半轴，R_e为地球半径，β为目标T和卫星星下点S对地心的张角，γ为卫星下视角。

图 2(Fig.2)

图 2 GEOSAR卫星与地面目标构成的星地几何关系 Fig. 2 GEOSAR imaging geometry

本文主要考虑GEOSAR对地面目标的定点观测即“凝视”成像，即无论卫星在成像过程之中运动到什么轨道位置，雷达天线通过波束扫描控制始终指向卫星视场之内的观测目标。若T为卫星视场之内的某地球表面固定成像目标，卫星与目标之间的距离即斜距为R，则由图 2的几何关系可以得到：

由于GEOSAR轨道很高，根据星地关系容易计算出$\gamma < 8.7^\circ$，即$\cos \gamma > 0.9885$，故本文取近似$\cos \gamma$ $\approx 1$，于是有

若目标经纬度为${{\lambda } _T}\,$,${\phi _T}\,$，地心张角和卫星星下点经纬度、目标经纬度之间存在以下关系^[21]：

将式(4)代入式(3)得到目标斜距方程为：

式(5)表明，目标斜距不仅与目标经纬度${{\lambda } _T}\,$,${\phi _T}\,$有关，而且通过卫星星下点经纬度${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$依赖于部分卫星轨道根数，是卫星轨道运动时间的函数。

注意到本文所得到的目标斜距解析表达式(5) 是在地球球模型假设和取近似$\cos \gamma \approx 1$的条件下取得的。实际上，地球不是一个理想的球体，地球赤道半径为6378.139 km、极半径为6356.733 km。采用球模型近似之后，图 2地心三角形目标位置处的地球半径误差也会投影到斜距方向上形成的斜距误差。但考虑到目标位置在成像过程中固定不变，该误差是一个不随时间变化的固定误差，不影响本文所讨论的成像聚焦问题。此外，由于GEOSAR轨道很高，对于处于卫星视场之内的任何目标，下视角γ很小且合成孔径之内近似不变，由$\cos \gamma \approx 1$近似导致的也是不超过1-0.9885=1.5% 的固定误差，不影响成像聚焦。

根据上一节星地几何关系，本文所采用的扁率摄动近似分析方法是：以式(1)、式(5)作为二体无摄动条件下的卫星运动解和目标斜距解，将式(1)、式(5)中的轨道根数a,Ω,i看作常数，将卫星受摄看成是对二体运动的附加调制，使得a,Ω,i产生了附加的时间变化率。分析方法首先由拉格朗日摄动方程求得该附加的时间变化率，然后求得摄动导致的斜距变化率和雷达回波多普勒频率。

GEOSAR卫星是地球同步轨道卫星的一种，卫星主要摄动包括地球非球形摄动、日月三体摄动和太阳光压摄动。本文目的在于分析地球非球形摄动的带谐主项J₂即地球扁率摄动的影响。J₂摄动反映了地球两极扁、赤道凸的形状特征，故称扁率摄动。在影响GEOSAR的3种主要摄动力中，地球非球形摄动力高于日月三体摄动和太阳光压摄动1个数量级，而J₂项又高于地球非球形摄动其他主项3个数量级^[22]，故J₂项是GEOSAR成像聚焦所需要考虑的最主要摄动因素。

本文以a,i,e,${\Omega }$,$\omega$,M分别表示卫星轨道长半轴、倾角、偏心率、升交点赤经、近地点幅角和平近地点角。对于圆轨道GEOSAR卫星，近地点失去意义，因而$\omega$以及从近地点起算的平近地点角M也都失去几何意义，故摄动分析应采用第1类无奇点轨道根数a,i,Ω,$\xi = e\cos \omega ,{\mkern 1mu} \eta = - e\sin \omega ,\lambda = \omega + M$^[22]。考虑到$\lambda$常被雷达领域用于表示电磁波长，以下用u替代第1类无奇点轨道根数中的$\lambda$，并直接给出第1类无奇点根数的拉格朗日方程如下：

式(6)是法国数学家拉格朗日在18世纪采用常数变易法从二体运动解推导出的行星摄动方程组，也是卫星轨道摄动分析的理论基础^[22]。式中，n为卫星平均运动角速度，对于圆轨道GEOSAR卫星可取为$n = \sqrt {\mu {a^{ - 3}}}$,V为地球非球形摄动位函数。可见，拉格朗日方程反映了卫星轨道根数受摄变化率与摄动位函数之间的关系。

对于地球扁率摄动J₂，其位函数为^[22]：

其中，${\phi _s}$是星下点经纬度，J₂为带谐系数，μ为地球引力常数，r为卫星地心距，R_e是摄动力模型中的地球半径。由式(1)$\sin{\phi _s} = \sin i\;\sin {ω_s}t$，同时取圆轨道GEOSAR地心距r等于长半轴a，则式(7) 变为：

于是，根据式(8)求出J₂位函数关于根数的偏导数，再代入式(6)即可求得卫星轨道根数受摄变化率。

考虑到目标斜距与轨道根数的函数依赖关系式(1)、式(5)，影响目标斜距的只有 a,${\Omega }$,i 3个轨道根数，又从式(6)知需要求解的偏导数有$\frac{{\partial V}}{{\partial {\Omega } }}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial u}}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial i}}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial \xi }}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial \eta }}$。其中，$\frac{{\partial V}}{{\partial \xi }}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial \eta }}$涉及通约奇点的摄动计算问题^[22]，求解过程较为复杂，但对于圆轨道GEOSAR卫星，式(6)可取$e = \xi = \eta = 0$避免求解$\frac{{\partial V}}{{\partial \xi }}$,$\frac{{\partial V}}{{\partial \eta }}$的具体函数形式，从而简化分析过程。于是由式(8)得：

再代入(6)即得GEOSAR部分轨道根数因受摄所导致的时间变化率分别为：

式(10)通过$\sin 2{ω_s}t$,$\cos 2{ω_s}t$因子体现了J₂摄动导致的时变效应，故又由式(10)得卫星轨道根数因J₂摄动所导致的二阶时间变化率为：

在得到卫星轨道根数受摄的1阶、2阶导数之后，就可以利用目标斜距依赖于轨道根数的函数关系式(5)，将摄动影响引入斜距表达式，进而求得雷达受摄多普勒调频率。由于目标斜距依赖a,${\Omega }$,i等轨道根数，于是目标斜距因摄动导致的1阶变化率为：

式中用s统一表示各卫星轨道根数，省略推导过程，根据式(1)、式(5)可得目标斜距关于s的偏导数为：

由式(12)可得目标斜距因各轨道根数受J₂摄动的2阶变化率为：

因此，若求目标斜距受摄2阶导数，首先还需求$\frac{d}{{dt}}\bigg(\frac{{\partial R}}{{\partial \sigma }}\bigg)$。式(13)中，$\frac{{\partial R}}{{\partial a}}$为常数，但$\frac{{\partial R}}{{\partial {\Omega } }}$,$\frac{{\partial R}}{{\partial i}}$都包含了星下点经纬度${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$。由式(1)知，${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$自身是时间t的函数，所表达的是随时间变化的二体运动效应。此外，$\frac{{\partial R}}{{\partial i}}$还包含了时间t的显函数$\tan {ω_s}t$因子，所表达的也是二体运动效应。本文认为$\frac{{\partial R}}{{\partial \sigma }}$随时间的变化完全依赖二体运动，在求因<J₂摄动导致的$\frac{d}{{dt}}\bigg(\frac{{\partial R}}{{\partial \sigma }}\bigg)$时，取$\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial R}}{{\partial \sigma }}} \right) = 0$，则得目标斜距受J₂摄动的2阶变化率为：

再利用多普勒调频率${K_\sigma }$与目标斜距2阶导数的关系${K_\sigma } = 2{{\lambda } ^{ - 1}} \cdot \frac{{{d\,^2}{R_\sigma }}}{{d{t^2}}}$，最后得到雷达回波因卫星轨道长半轴、升交点、倾角受J₂摄动所导致的多普勒调频率分别为：

需要强调的是，上述结果不包括卫星因二体运动所产生的多普勒调频率，只是J₂摄动产生的附加多普勒调频率。

分析多普勒调频率的数学表达可知，各受摄公式包含有多个三角函数因子，表明受摄多普勒调频率在形式上是随时间的振荡曲线。其中，${K_a}$振荡幅度为$12{{\lambda } ^{ - 1}}{J_2}{\mu ^{\Large{{\frac{1}{2}}}}}{a^{{-{\Large{{ \frac{5}{2}}}}}}}R_{\rm{e}}^2{ω_s}$，考虑到$\frac{{\partial R}}{{\partial {\Omega } }}$,$\frac{{\partial R}}{{\partial i}}$影响，${K_{\Omega } }$,${K_i}$振荡幅度为$6{{\lambda } ^{ - 1}}{J_2}{\mu ^{\Large{{\frac{1}{2}}}}}{a^{-{\Large{{ \frac{7}{2}}}}}}R_{\rm{e}}^3{ω_s}$，说明卫星轨道升交点、倾角受摄量级基本相同，长半轴受摄高于其他两种情况$2a/{R_{\rm{e}}} \approx 14$倍。这进而导致一个有意义的结论：长半轴受摄是J₂摄动对成像影响的主导成分。

为分析GEOSAR长合成孔径成像聚焦受摄问题，本文称成像合成孔径时间所对应的卫星轨道运动区间为成像弧段，定义合成孔径起点为合成孔径参考点。这有别于低轨星载SAR文献通常采用合成孔径中点为合成孔径参考点，原因也在于GEOSAR长合成孔径“凝视”成像中，斜距历程不再具有关于合成孔径中点对称的抛物线特性。

根据SAR成像理论^{[23, 24]}可知，SAR成像聚焦必须采用精确反映雷达和目标相对运动关系的多普勒参数构造匹配滤波器。其中，多普勒调频率是影响成像聚焦的关键参数，多普勒调频率不准确导致成像散焦。由以上分析可知，J₂摄动等效于给雷达回波附加了一个多普勒调频率。合成孔径成像过程必须考虑这一多普勒调频率所形成的2次相位积累量是否超出0.25π容限。

考虑以${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$为弧段起点、合成孔径时间为T的GEOSAR成像问题。利用上一节给出的、随时间瞬时变化的J₂摄动多普勒调频率式(16)，在合成孔径时间之内进行积分即可得到2次相位积累量。为简便起见，尽管GEOSAR合成孔径时间很长，但仍然可以将合成孔径之内多普勒调频率看作近似不变，并代之以${{\lambda } _s}$,${\phi _s}$处的瞬时多普勒调频率，利用公式${\varphi _\sigma } = {\pi } \cdot {K_\sigma }{T\,^2}$直接计算受摄2次相位积累的总量。

首先分析长半轴受摄的情况。由式(16a)得长半轴受摄2次相位积累总量为：

将$\cos 2{ω_s}t = 1 \!-\! 2{\sin ^2}{ω_s}t = 1 \!-\! 2{\sin ^{ - 2}}i \cdot {\sin ^2}{\phi _s}$代入式(17)得：

可见，卫星因长半轴受摄2次相位具有非常简洁的表达式，仅成像弧段纬度有关，与成像弧段经度和目标位置都无关。与纬度有关、与经度无关正说明了J₂摄动反映的是地球赤道凸、两极扁的扁状特征。此外，与目标位置无关是因为GEOSAR轨道高、对地下视张角小，采用$\cos \gamma \approx 1$进行星地几何关系近似分析的结果，且由上一节的结论知这一近似不影响GEOSAR成像聚焦的受摄分析。

考虑到卫星纬度变化范围为$- i \le {\phi _s} \le i$，容易从式(18)知道受摄2次相位绝对值在${\phi _s} =$ $0,\,\pm i$处取最大值：

在

处取最小值0。若式(18)左端取为受摄2次相位的容限值0.25π，容易得到2次相位取0.25π时的卫星纬度为：

为得到定量的概念，对于倾角为50°的GEOSAR卫星，若L波段雷达标称波长取$\lambda$=0.24 m，取J₂=1.0826×10^-3,$\mu = 3.986 \times {10^{14}} \,{{\rm m}^3}{{\rm s}^{ - 2}},a =$ $4.32167 \times {10^7} \,{\rm m}$,${R_{\rm{e}}} \!=\! 6.371 \! \times \! {10^6} \,{\rm m},{ω_s} = 7.2722 \,\times$ ${10^{ - 5}} \,{\rm rad} \cdot {{\rm s}^{ - 1}}$，合成孔径时间为T=5 min，根据式(19)-式(21)可计算出：2次相位在${\phi _s} = 0,\pm 50^\circ$时取最大值14.67π，在${\phi _s} = \pm 32.17^\circ$取0.25π，在${\phi _s} =$ ±32.79°时取0值。此结果表明，长半轴受摄2次相位在赤道附近和南北回归点处远远超出0.25π容限，受摄2次相位取0～0.25π的纬度区间仅为${\phi _s}$=±(32.17°～32.79°)，忽略不受J₂摄动影响的成像弧段几乎为零。事实上式(21)在卫星轨道倾角较大时即可近似为式(20)，即

由此即可以得出结论，GEOSAR仅仅因为长半轴受J₂摄动所导致的附加2次相位，经过5 min合成孔径积累就超出了0.25π，而且这种影响几乎遍及卫星轨道运动的全周期。因而，GEOSAR成像不能简单地忽略这一附加相位，否则将造成很大的2次相位误差，使成像散焦。此外，成像有利的赤道附近弧段受摄影响最大。赤道附近轨道弧段之所以对成像有利原因在于：卫星在赤道附近运动速度大、多普勒带宽大；我国为北半球国家，我国SAR成像目标主要位于北半球中低纬度，卫星处于赤道附近轨道时，星地几何关系更接近SAR成像理论所要求的正侧视模式，成像处理难度相对较小。

这一结论或出乎直观判断。一般直观认为受摄2次相位量级很小，很难对成像造成影响。究其原因，还在于GEOSAR长合成孔径成像的根本特性。虽然长半轴受摄2次相位式(18)量级为$12{\lambda ^{ - 1}} \cdot {J_2}{\mu ^{\frac{1}{2}}}{a^{ - \frac{5}{2}}}R_{\rm{e}}^2{\omega _s}$ $= 2.78 \times {10^{ - 4}}{\mkern 1mu}$，但2次相位积累是与合成孔径时间平方成正比的，对于GEOSAR数分钟乃至十数分钟的合成孔径时间，合成孔径时间平方很容易达或超过10⁵数量级，最终使得2次相位积累总量很容易超出0.25π容限。

由于轨道升交点和倾角受摄的情况比较复杂，无法通过解析得到类似于长半轴受摄的简洁结果，故本文以下只给出用数值曲线表示的分析结果。数值计算过程所采用的部分参数同上。此外，升交点和倾角受摄还与目标位置有关，故而数值计算首先需要确定目标位置的经纬度。我国SAR成像应用对象主要是中低纬度目标，因此数值计算取中低纬度的典型值${\phi _{\small{T}}} = 0^\circ$和${\phi _{\small{T}}} = 50^\circ$。此外，目标位置经度$\lambda$_T取值范围也是受限的：$\lambda$_T首先受限于卫星对地可视窗口的覆盖范围，还与雷达波入射角允许取值范围、雷达成像斜视角允许取值范围、凝视成像工作弧段时长等有关。准确分析这种依赖关系已超出本文范畴。考虑到计算过程只需要目标经度与升交点赤径之差，本文直接给出$\lambda$_T -Ω=30°的典型值。

利用数值计算给出的各种受摄2次相位随成像弧段纬度变化的曲线如图 3所示。

图 3(Fig.3)

图 3 GEOSAR轨道根数受摄2次累积相位随纬度变化的曲线 Fig. 3 Illustration of the accumulating quadratic phases at different latitudes caused by orbital perturbation from the Earth’s oblatenes

为了将升交点、倾角受摄与长半轴进行比较，图 3也画出了长半轴受摄的数值曲线。由于长半轴受摄较大，故图 3中卫星轨道升交点和倾角受摄2次相位量级被放大了10倍，以便3条曲线能够在统一的坐标尺度下加以比较。

图 3的数值分析结果表明，成像弧段选取在不同的轨道位置，雷达受摄影响是不同的。其中，长半轴受摄在几乎全部弧段都超出0.25π门限，这与前面的解析分析结果一致。其他轨道根数受摄情况较为复杂，但在全轨道周期内都存在超出0.25π的弧段。纬度不同目标相比较，低纬度目标总体上所受影响略大。

以上分析是以L波段和5 min合成孔径时间为例的。实际上，GEOSAR对地定点成像应用在绝大多数情况下所需要的合成孔径时间都超过5 min，显然合成孔径时间越长成像受影响越严重；此外，L波段也是GEOSAR所允许采用的较长工作波段，由于雷达受摄附加相位与雷达工作波长成反比，同样，GEOSAR工作频率越高，受摄动影响也越严重。

本文针对圆轨道GEOSAR推导了卫星轨道根数受地球扁率摄动所导致的雷达回波多普勒调频率和2次相位公式，分析了地球扁率摄动对GEOSAR 成像聚焦的影响，得出结论：地球扁率对卫星轨道长半轴摄动高于其他轨道根数1个数量级以上，是卫星受摄影响的主要成分；GEOSAR成像聚焦过程几乎在全轨道弧段受到扁率摄动的严重影响，必须采取相应措施补偿扁率摄动的影响，否则会造成图像的严重散焦。